2015学年第1学期第1次四校联考

高 三 数 学（理科）试 卷

（满分120分，考试时间：120分钟）

参考公式：

柱体的体积公式：
其中
表示柱体的底面积，
表示柱体的高

锥体的体积公式：
其中
表示锥体的底面积，
表示锥体的高

台体的体积公式：
其中S1、S2分别表示台体的上、下底面积，
表示台体的高

球的表面积公式：
球的体积公式：
其中
表示球的半径

选择题部分（共32分）

一、选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．设
，则
是
的 ( ▲ )

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

2．给定下列四个命题：

①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；

②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；

③垂直于同一直线的两条直线相互平行；

④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．

其中，为真命题的是 ( ▲ )

A. ①和② B. ②和③ C. ③和④ D. ②和④

3．已知函数
的最小正周期为
，为了得到函数
的图象，只要将
的图象 ( ▲ )

A. 向左平移
个单位长度 B. 向右平移
个单位长度

C. 向左平移
个单位长度 D. 向右平移
个单位长度

4．已知一个空间几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸，

可得这个几何体的体积是 ( ▲ )

A. 2 B. 4 C. 6 D.

5．已知
为第二象限角，
，则
( ▲ )

A．
B．
C．
D．

6．称
为两个向量
间的“距离”，若向量
满足：

(1)
；(2)
；(3)对任意的
，恒有
，则 ( ▲ )

A．
B．
C．
D．

7．已知直线
与抛物线C:
相交A、B两点，F为C的焦点．若
，则k= ( ▲ )

A．
B．
C．
　 D．

8．已知函数
，则下列关于函数
（
）的零点个数的判断正确的是 ( ▲ )

A．当
时，有
个零点；当
时，有
个零点

B．当
时，有
个零点；当
时，有
个零点

C．无论
为何值，均有
个零点

D．无论
为何值，均有
个零点

非选择题部分（共88分）

二、填空题：本大题共7小题，前4题每题6分，后3题每题4分，共36分．

9．双曲线
的焦点坐标是 ▲ ，渐近线方程是 ▲ ．

设集合
，
，若
，则
的取值范围为 ▲ ；

若
，则
的取值范围为 ▲ ．

11．若x, y满足约束条件
则点P(x, y)构成的区域的面积为 ▲ ；

的最大值为 ▲ ．

已知数列
满足：
则
= ▲ ；

= ▲ ．

13．如图，四边形ABCD和ADPQ均为正方形，它们所在的平面互相垂直，

M，E，F分别为PQ，AB，BC的中点，则异面直线EM与AF所成的角

的余弦值是 ▲ ．

14．已知正数x，y满足：x+4y=xy，则x+y的最小值为 ▲ ．

15．函数
，
，
，
，对任意的
，总存在
，使得
成立，则
的取值范围为 ▲ ．

三、解答题：本大题共4小题，共52分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

16．(本题满分12分)

在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且
．

（I）求角B的大小；

（II）若
，求△ABC的面积．

(本题满分12分)

如图，在直三棱柱
中，
平面
，其垂足
落在直线
上．

（I）求证：
⊥
；

（II）若
，
，
为
的中点，求二面角
的平面角的余弦值．

(本小题满分14分)

已知函数
．

（Ⅰ）若当
时，不等式
恒成立，求实数
的取值范围；

（Ⅱ）求函数
在区间
上的最大值．

19．(本题满分14分)

已知数列
满足
，且
，
为
的前
项和.

（Ⅰ）求
的通项公式；

（Ⅱ）如果对于任意
，不等式
恒成立，求实数
的取值范围.

2015学年第1学期第1次四校联考

高 三 数 学（理科） 参考答案

一、选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

题号

1

2

3

4

5

6

7

8



答案

A

D

B

B

C

B

D

C





填空题：本大题共7小题，前4题每题6分，后3题每题4分，共36分．

9．
；
　　 10．
11．1；

12．1；0 13．
14．9 15．[3, 4]

三、解答题：本大题共4小题，共52分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

16．解：（I）解法一：由正弦定理
得

将上式代入已知
……………………2分

即

即

∵
…………4分

∵

∵B为三角形的内角，∴
. ………………………………………6分

（用射影定理一步即可
）

解法二：由余弦定理得

将上式代入
………2分

整理得
………………3分

∴

∵B为三角形内角，∴
………………………………………6分

（II）将
代入余弦定理
得

， ………………………………………8分

∴
………………………………………10分

∴
. ………………………………………12分

17．（1）证明：
三棱柱
为直三棱柱，

平面
，又
平面
，

………………………2分

平面
，且
平面
，

． 又
平面
,
平面
,
，

平面
， …………………………………………5分

又
平面
，

…………………………………6分

（2）由（1）知
平面
，
平面
,从而
如图,以B为原点建立空间直角坐标系

平面
，其垂足
落在直线
上,

．

在
中，
，AB=2，

,

在直三棱柱
中，

． …………………………8分

在
中，
,

则
（0,0,0）,
,C（2，0，0）,P（1，1，0）,
（0，2，2
）,

（0，2，2
）

设平面
的一个法向量

则
即
可得
………………10分

设平面
的一个法向量

则
即
可得
……………………11分

二面角
平面角的余弦值是
………………12分

(利用二面角P-A1B-C平面角与二面角P-A1B-A平面角互余等方法可适当给分)

18.解：（Ⅰ）不等式
对
恒成立，即
（*）对
恒成立，

① 当
时，（*）显然成立，此时
； ………………………2分

② 当
时，（*）可变形为
，令

因为当
时，
，当
时，
， ………………………4分

所以
，故此时
.

综合①②，得所求实数
的取值范围是
. ………………………6分

（Ⅱ）
………………………7分

① 当
时，即
，

此时，

② 当
时，即
，

此时

③ 当
时，即
，

此时

④ 当
时，即
，

此时

综上：
. ………………………14分

19．（本题满分１4分）

解：（I）由题意得

则
成等比数列,首项为
，公比为
………………………4分

故
…………………………6分

（Ⅱ）
………………8分

由
得
对任意
恒成立

设
，则

当
,
,
为单调递减数列，

当
,
,
为单调递增数列 …………………………………12分

,则
时,
取得最大值
,故
………………………14分

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