嘉兴市第一中学高三年级阶段性练习卷

数学（理科） 试题卷

命题：李晓峰 审题： 吴旻玲

满分[ 150]分 ，时间[120]分钟 2015年10月

第I卷(选择题 共40分)

一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）

1．已知集合
，
，则集合
（ ▲ ）

A．
B．
C．
D．

2．命题“
”为真命题的一个充分不必要条件是（ ▲ ）

A．
B.
C.
D.

3．设
表示三条不同的直线，
表示两个不同的平面，则下列说法正确的是（ ▲ ）

A．若
∥
，
，则
∥
；

B．若
，则
；

C．若
，则
；?

D．若
∥
，
∥
，
，则
∥
．

4．若
，则
（ ▲ ）

A．
B．
C．
D．3

5．将函数
的图象经怎样平移后所得的图象关于点
中心对称（ ▲ ）

A．向左平移
B．向右平移
C．向左平移
D．向右平移

6．已知双曲线
与抛物线
有一个公共的焦点
，且两曲线的一个交点为
，若
，则双曲线的离心率为（ ▲ ）

A．2 B．
C．
D．

7．在数列
中，若存在非零整数
，使得
对于任意的正整数
均成立，那么称数列
为周期数列，其中
叫做数列
的周期. 若数列
满足
，如
，当数列
的周期最小时，该数列的前2015项的和是（ ▲ ）

A．671 B．672 C．1342 D．1344

8．设偶函数
和奇函数
的图象如下图所示

集合A =
与集合B =
的元素个数分别为
，若
，则
的值不可能是（ ▲ ）

A．12 B．13 C．14 D．15

第Ⅱ卷（非选择题 共110分）

二、填空题：（本大题共7小题, 前4题每空3分，后3题每空4分, 共36分．）

9．一个正四棱锥的所有棱长均为2，其俯视图如右图所示，则该正

四棱锥的正视图的面积为　 ▲ 　 ，体积为　 ▲ 　．

10．已知函数
，则
的定义域为　 ▲ 　，
最大值为 　 ▲ 　 ．

11．若向量
与
满足
，
，
．则向量
与
的夹角等于　 ▲ 　；
　 ▲ 　．

12．记公差
不为0的等差数列
的前
项和为
，
，
成等比数列，则公差
= ▲ ；数列
的前
项和为
= ▲ ．

13．设
满足约束条件
若目标函数
的最大值为1，则
的最小值为 ▲ 　 ．

14．在平面直角坐标系
中,圆
和
轴的负半轴相交于
点，点
在圆
上（不同于点
），
为
的中点，且
，则点
的纵坐标为 ▲ ．

15．设
为实数，定义{
}为不小于
的最小整数，例如{5.3}=6，{-5.3}=-5，则关于
的方程{3
+4}=2
+
的全部实根之和为 ▲ 　 ．

三、解答题：（本大题共5个小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）

16．（本题满分14分）

设
的内角
所对应的边分别为
, 已知
．

（Ⅰ）求角

（Ⅱ）若
,求
的面积．

17．（本题满分15分）

中，
，以
的中线
为折痕，将
沿
折起，如图所示，构成二面角
,在面
内作
，且
．

（I）求证：
∥平面
；

（II）如果二面角
的大小为
，求二面角
的余弦值．

18．（本题满分15分）

已知椭圆
：
的左、右焦点和短轴的两个端点构成边长为2的正方形．

（Ⅰ）求椭圆
的方程；m]

（Ⅱ）过点
的直线
与椭圆
相交于
，
两点．

点
，记直线
，
的斜率分别为
，

当
最大时，求直线
的方程．

19．（本题满分15分）

设二次函数
,
,且
时，
恒成立，
是区间
上的增函数．

（Ⅰ）求函数
的解析式；

（Ⅱ）若
，且
，
，求
的取值范围．

20．（本题满分15分）

已知横坐标为
的点P在曲线C:
上，曲线C在点P处的切线
与直线y = 4x交于点A， 与x轴交于点B.设点A， B的横坐标分别为
，记
.正数数列{
}满足

,
.

(Ⅰ)写出
之间的关系式；

(Ⅱ)若数列{
}为递减数列，求实数
的取值范围；

(Ⅲ)若
,
，设数列{
}的前n项和为
，求证：
．

嘉兴市第一中学高三年级阶段性练习卷

高三数学（理科） 参考答案及评分标准

一、选择题(每小题5分，共40分．)

题号

1

2

3

4

5

6

7

8



答案

B

C

D

D

B

A

D

D





二、（本大题共7小题, 前4题每空3分，后3题每空4分, 共36分．）

9.
；
， 10.
； 1 ，

11.
；
， 12. 1 ；

13. 9 ， 14.
，

15. -6 .

三、解答题

16．（本题满分14分）

（Ⅰ）因为
， 所以
，

所以
，

所以
， 又因为
，所以
。

（Ⅱ）由
可得
,

由
可得
，

而

所以
的面积

17. （本题满分15分）

解：（1）由
得
，所以
为等腰直角三角形，由
为
的中点得
，以
的中线
为折痕翻折后仍有
，因为
，所以
∥
，又
平面
，
平面
，所以
∥平面
．

（2）如果二面角
的大小为
，由
得
平面
，因此
，又
，所以
平面
，从而
．由题意
，所以
中，
．设
中点为
，因为
，所以
，且
，设
中点为
，则
∥
，由
得
，所以
为二面角
的平面角，连结
，在
中，因为
，所以
．在
中
，于是在
中，
．在
中，
，所以在
中，
．因此二面角
的余弦值为
．

解法二：如果二面角
的大小为
，由
得
平面
，又由（1）知
，所以以
为坐标原点，
分别为
轴建立空间直角坐标系．又
，所以
平面
，又
平面
，所以平面
平面
．

设
中点为
，连结
，则
，且
，从而
平面
．由（1）可知，
，所以
，
，
，因此
，即平面
的法向量为
，又
，
，设平面
的法向量为
，则
，所以
，所以可以取
，设
与
的夹角为
，由
得
，结合图形可知二面角
的余弦值为
．

18．（本题满分15分）

解：解：（Ⅰ）由已知得
．

又
，所以椭圆
的方程为
．

（Ⅱ）①当直线
的斜率为0时，则

；

②当直线
的斜率不为0时，设
，
，直线
的方程为
，

将
代入
，整理得
．

则
，
．

又
，
，

所以，

．

令
，则

所以当且仅当
，即
时，取等号．

由①②得，直线
的方程为
．

19．（Ⅰ）由
可得
，

又因为
时，
恒成立，

所以
，

所以
即
,

由
是区间
上的增函数可知
，

所以
;- 所以
，
。

（Ⅱ）由(I)可知

设
，则
，且
，

由
可得
,所以
，

由
可得
所以
，

所以
；

令
，则
，

由
可知，
，所以
，

所以
。-

法二：由法一可知：
，且

设
，则点
的轨迹为如图所示的圆弧
，

其中
---------------------------------13分

当直线
过点
时，

，

所以
。---------------------------------------15分

20．（Ⅰ）
，直线（过P点的切线）AB的方程为：

，┄┄┄┄┄①

令
，得
；由
与①联立得

所以
由题设，得
．

（Ⅱ）
由待定系数法易得：
，，

所以
，得

依题意

（10分）

（Ⅲ） 法一:

而

法二:

．

即
．

,

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