台州市书生中学 2015学年第一学期 高三数学（理）第一次月考试卷

命题人：骆兆文 解题人：聂祖浥 2015. 10

（满分：150分 考试时间：120 分钟）

一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．已知集合
或
，
，
，则集合
等于（ ）

Ａ．
Ｂ．

Ｃ．
　　　 Ｄ．

2. 已知
是两条不同的直线，
是三个不同的平面，则下列命题中正确的是（ ）

A. 若
B. 若

C. 若
D. 若

3．若数列
的前n项和
满足
，则
（ ）

（A）16 （B）
（C）8 （D）

“
”是“
”的( )

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

5. 设奇函数
在
上为单调递减函数，且
，则不等式
的解集为（ ）

A.
B.

C.
D.

6．已知点O是△ABC的外接圆圆心，且AB=3，AC=4．若存在非零实数x、y，使得
，且
，则
∠BAC 的值为（ ）

（A）
（B）
（C）
（D）

7、已知
、
分别是双曲线

（
，
）的左、右焦点，且
是抛物线

（
）的焦点，双曲线
与抛物线
的一个公共点是
．若线段
的中垂线恰好经过焦点
，则双曲线
的离心率是（ ）

A．
B．
C．
D．

8．知函数
，当
时，关于
的方程
的所有解的和为（ ）

A．55 B．100 C．110 D．120

二、填空题：本大题有7小题，9-12每题6分，13-15题每题4分，共36分。把答案填在答题卷的相应位置。

9．若经过点
的直线与圆
相切，则圆心坐标是 ；半径为 ；切线在
轴上的截距是 .

10．设函数
则
；

若
，则
的值为

11. 在
中，角
所对的边长分别为
，已知
，

，则
的面积为__________，
_________.

12．某空间几何体的三视图（单位：cm）如图所示，

则其体积是 cm3, 其侧视图的面积是 cm 2．

13. 若实数
满足不等式组

则
的取值范围是

14. 已知
为正数，且
，则

的最大值为

5．已知函数
，若存在
使
同时成立，则实

数
的取值范围为　

三、解答题：本大题共5小题，满分74分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

16.（本题满分14分）16、（本小题满分15分）在
中，角
，
，
的对边分别为
，
，
，且
．

求角
；

求
的取值范围．

17．（本小题满分15分）

如图（1）所示，直角梯形
中，
，
，
，
．过
作
于
，
是线段
上的一个动点．将
沿
向上折起，使平面
平面
．连结
，
，
（如图（2））．

（Ⅰ）取线段
的中点
，问：是否存在点
，使得
平面
？若存在，求出
的长；不存在，说明理由；

（Ⅱ）当
时，求平面
和平面
所成的锐二面角的余弦值．

18、（本小题满分15分）已知二次函数
（
，
）．

若
，且不等式
对
恒成立，求函数
的解析式；

若
，且函数
在
上有两个零点，求
的取值范围．

19．（本小题满分15分）

已知A、B是椭圆
的左、右顶点，
，过椭圆C的右焦点F的直线交椭圆于点M，N，交直线x=4于点P，且直线PA，PF，PB的斜率成等差数列，R和Q是椭圆上的两动点，R和Q的横坐标之和为2，RQ（不垂直X轴）的中垂线交X轴与于T点

（1）求椭圆C的方程；

（2）求△MNT的面积的最大值

20. （本小题满分15分）

设
是等差数列
的前n项和，其中
，且
，

（Ⅰ）求常数
的值，并求数列
的通项公式；

（Ⅱ）记
，设数列
的前n项和为
，求最小的正整数
，使得对任意的
，都有
成立.

台州市书生中学 2015学年第一学期高三数学（理）第一次月考答卷

一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.）

题目

1

2

3

4

5

6

7

8



选项



















二、填空题：本大题有7小题，9-12每题6分，13-15题每题4分，共36分。

9.

10.

11.

12.

13. 14. 15.

三、解答题：本大题共5小题，满分74分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

16.（本题满分14分）16、（本小题满分15分）在
中，角
，
，
的对边分别为
，
，
，且
．

求角
；

求
的取值范围．

17．（本小题满分15分）

如图（1）所示，直角梯形
中，
，
，
，
．过
作
于
，
是线段
上的一个动点．将
沿
向上折起，使平面
平面
．连结
，
，
（如图（2））．

（Ⅰ）取线段
的中点
，问：是否存在点
，使得
平面
？若存在，求出
的长；不存在，说明理由；

（Ⅱ）当
时，求平面
和平面
所成的锐二面角的余弦值．

18、（本小题满分15分）已知二次函数
（
，
）．

若
，且不等式
对
恒成立，求函数
的解析式；

若
，且函数
在
上有两个零点，求
的取值范围．

19．（本小题满分15分）

已知A、B是椭圆
的左、右顶点，
，过椭圆C的右焦点F的直线交椭圆于点M，N，交直线x=4于点P，且直线PA，PF，PB的斜率成等差数列，R和Q是椭圆上的两动点，R和Q的横坐标之和为2，RQ（不垂直X轴）的中垂线交X轴与于T点

（1）求椭圆C的方程；

（2）求△MNT的面积的最大值

20. （本小题满分15分）

设
是等差数列
的前n项和，其中
，且
，

（Ⅰ）求常数
的值，并求数列
的通项公式；

（Ⅱ）记
，设数列
的前n项和为
，求最小的正整数
，使得对任意的
，都有
成立.

数学（理科）试题参考答案

一、选择题：本题考察基本知识和基本运算。每小题5分，满分40分。

1.C 2.C 3. D 4.A 5.C 6.D 7.B 8.B

二、填空题：本题考查基本知识和基本运算。多空题每题6分，单空题每题4分，满分36分）

9.
10.
11.
， 12.
13.
14. 8

15.

三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

16、解析：解：（Ⅰ）由
得
， ………………………………2分

化简得：
即
，

所以
． ………………………………5分

故
． ………………………………7分

（Ⅱ）
………………………………8分

=
， ………………………………9分

=
， ……………………………………10分

=
， …………………………12分

由
可知
，

所以
， ……………………………………13分

故
．

故
．

所以
． …14

17解：（Ⅰ）存在．当
为
的中点时，满足
平面
．………1分

取
的中点
，连结
，
．

由
为
的中点，得
，且
，……2分

又
，且
，

所以
，
，

所以四边形
为平行四边形，……………………4分

故
．……………………………………………5分

又
平面
，
平面
，

所以
平面
． ………………………………6分

从而存在点
，使得
平面
，此时
．……………… 7分

（Ⅱ）由平面
平面
，交线为
，且
，

所以
平面
，又
，………………………………8分

以E为原点，分别以
为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间

直角坐标系（如图），则
，
，
，
，

．…………………………………………………………10分

，
．…………………………………11分

平面
的一个法向量为
， ……………………12分

设平面
的法向量为
，

由
得
………………………………………13分

取
，得
， ……………………………………………14分

所以
，

即面
和平面
所成的锐二面角的余弦值为
．……………15分

18．解：(Ⅰ)因为
，所以
， …………………………………3分

因为当
，

都有
，所以有
， ………………………6分

即
，所以
； ………………………………7分

(Ⅱ)解法1：因为
在
上有两个零点，且
，

所以有

………………………………………11分

（图正确，答案错误，扣2分）

通过线性规划可得
. ……………………………………………15分

（若答案为
，则扣1分）

解法2：设
的两个零点分别
，所以
，……9分

不妨设
，
， … ………………………11分

因为
，且
，
， …………13分

所以
，所以
. …………………………………15分

（若答案为
，则扣1分）

19、（1）设

直线PA，PF，PB的斜率成等差数列


………3分

所以椭圆方程
………4分

（2）设直线MN方程为

联立
得
………6分

[:.]

………9分

由点差法可知RQ中垂线与x轴相交于点
，

………12分

当
时，
………15分

20.解