富阳二中2016届高三10月第二次质量检测

数学（理科）问卷 命题人：林国成

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。

1．已知集合
，
，则
（ ▲ ）

A．
B．
C．

D．

2．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ▲ ）

A．
B．
C．
D．

3．已知a,b∈R，下列四个条件中，使“a>b”成立的必要而不充分的条件是（ ▲ ）

A．a>b?1 B．a>b+1 C．| a |>| b | D．2a>2b

4.已知点
的坐标为
，将
绕坐标原点
逆时针旋转
至
，则点
的纵坐标为（ ▲ ）.

A.
B.
C.
D.

5.等比数列{an}的首项为2，项数为奇数，其奇数项之和为，偶数项之和为，这个等比数列前n项的积为Tn(n≥2)，则Tn的最大值为（▲）

A． B． C．1 D．2

6.能够把椭圆

的周长和面积同时分为相等的两部分的函数
称为椭圆
的“亲和函数”，下列函数是椭圆
的“亲和函数”的是（　▲　）

A．
B．

C．
D．

7.设
,关于
的不等式
和
无公共解，则
的取值范围是（ ▲ ）

A．
B．
C．
D．

8. 抛物线
的内接
ABC的三条边所在直线与抛物线
均相切，设A，B两点的纵坐标分别是
，则C点的纵坐标为（ ▲ ）

A．
B．
C．
D．

二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分。

9.命题
,
，命题
，其中真命题的是 ▲ ；命题
的否定是 ▲ ；

10. 设函数

，则
＝ ▲ ，若

，则
▲ ；

11.函数
的最小正周期是 ▲ ，单调递减区间是 ▲ ；

12.若
，则
▲ ；

13. 在正三棱柱
中，若
，
是
中点，则
与
所成角的大小是 ▲ ；

14 ．若正实数
满足
，且不等式
恒成立，则实数
的取值范围是 ▲ ；

15.已知数列
前
项的和为
,

若
,则
= ▲ ；

若
，则
= ▲ ；

若
，则
▲ 。

三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

16. （15分）在
中，内角
，
，
的对边分别为
，
，
，

已知
．

(Ⅰ) 求角
的大小；

(Ⅱ) 若
，且
是锐角三角形，求实数
的取值范围．

17．（本题满分15分）如图，在四面体ABCD中，已知∠ABD=∠CBD=60°，AB=BC=2，

(Ⅰ) 求证：AC⊥BD；

(Ⅱ)若平面ABD⊥平面CBD，且BD=
，求二面角C－AD－B的余弦值。

18. （本小题满分14分）如图所示，椭圆
与直线
相切于点
．

（I）求
满足的关系式，并用
表示点
的坐标；

（II）设
是椭圆的右焦点，若
是以
为直角顶点的等腰直角三角形，求椭圆
的标准方程．

19.（本小题满分15分）已知
，设函数
．

(Ⅰ) 若
时，求函数
的单调区间；

(Ⅱ) 若
，对于任意的
，不等式
恒成立，求实数
的最大值及此时
的值．

20．（本小题满分15分）已知椭圆
（
），其右顶点为
，上、下顶点分别为
，
．直线
的斜率为
，过椭圆的右焦点
的直线交椭圆于
，
两点（
，
均在
轴右侧）．

求椭圆的方程；

设四边形
面积为
，求
的取值范围．

富阳二中2016届高三数学（理科）参考答案

题 号

1

2

3

4

5

6

7

8



答 案

C

B

A

D

D

B

A

B



9.
；
； 10. 5；1或
；

11.
，
，(
.)； 12.
；

13.
； 14.
；

15. 1177；
；820。

16. 解(Ⅰ) 由题意得

……………………………………（4分）

……………………………………（7分）

(Ⅱ)
……………………………（10分）

为锐角三角形，且

……………………………………（14分）

．……………………………………（15分）

17.（I）证明（方法一）：∵
，
，
．

∴
． ∴
．………………………2分

取
的中点
，连结
，则
，
．

………………………………………………………………3分

又∵
， ……………………………………4分

平面
，
平面
，

∴
平面
， ……………………………………5分

∴
………………………………………………6分

（方法二）：过
作
⊥
于点
．连接
．…1分

∵
，
，
．

∴
．∴
⊥
．…………………3分

又∵
，……………………………………4分

平面
，
平面
，

∴
⊥平面
．……………………………………5分

又∵
平面
，

∴
．……………………………………………6分

（方法三）：
………………2分

………………………………3分

………4分

，……………………5分

∴
．……………………………………………6分

（II）解（方法一）：过
作
⊥
于点
．则
平面
，

又∵平面
⊥平面
，平面

平面

，

∴
⊥平面
． ……………………………………8分

过
做
⊥
于点
，连接
． ………………9分

∵
⊥平面
，∴
⊥
，又
，

∴
⊥平面
，∴
⊥
．…………………10分

∴
为二面角
的平面角． …………11分

连接
．∵
，∴
⊥
．

∵
，
，

∴
，
．∵
，∴
． ………12分

∴
∴
．…………………………13分

∴
，…………………………………………14分

∴
．

∴二面角
的余弦值为
．………………………………15分

（方法二）：由（I）过
作
⊥
于点
，连接

∵
，∴
⊥
．

∵平面
⊥平面
， ∴
⊥
．…………………………7分

分别以
为
轴建立空间直角坐标系．………………8分

∵
，
，

∴
，
．

∵
，∴
．………………………………9分

．…10分

可得
，
．………11分

设平面
的法向量为
，

则
，取
，

得一个
．……………………………………………………12分

取平面
的法向量为
．……………………………………13分

．……………………………………14分

∴二面角
的余弦值为
．…………………………………15分

18. 解：（I）联立方程组
消元得：

①…………………………………………2分

相切
得：
② …4分

将②代入①式得：
解得

…………………………………………………………………6分

（II）解法1：

到直线
的距离
，

是等腰直角三角形

………………………11分

由②可得：