台州市书生中学 2015学年第一学期 高三数学（文）第一次月考试卷

命题人：骆兆文 解题人：聂祖浥 2015. 10

（满分：150分 考试时间：120 分钟）

一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．已知集合
或
，
，
，则集合
等于（ ）

Ａ．
Ｂ．

Ｃ．
　　　 Ｄ．

2. 已知
是两条不同的直线，
是三个不同的平面，则下列命题中正确的是（ ）

A. 若
B. 若

C. 若
D. 若

3．若数列
的前n项和
满足
，则
（ ）

（A）16 （B）
（C）8 （D）

4. 设
为向量，则“
”是“
的夹角是锐角”的（ ）条件

A.充分不必要 B.必要不充分 C.充分必要 D.既不充分也不必要

5．函数
的图象大致为（ ）

6.设奇函数
在
上为单调递减函数，且
，则不等式
的解集为（ ）

A.
B.
C.
D.

7. 已知函数
，其中
,若对任意的非零实数
，存在唯一的非零实数
，使得
成立，则
的取值范围为（ ）

8、已知
、
分别是双曲线

（
，
）的左、右焦点，且
是抛物线

（
）的焦点，双曲线
与抛物线
的一个公共点是
．若线段
的中垂线恰好经过焦点
，则双曲线
的离心率是（ ）

A．
B．
C．
D．

二、填空题：本大题有7小题，9-12每题6分，13-15题每题4分，共36分。把答案填在答题卷的相应位置。

9．若经过点
的直线与圆
相切，则圆心坐标是 ；半径为 ；切线在
轴上的截距是 .

10．设函数
则
；

若
，则
的值为

已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 ；

表面积为 ．

12、如图，在四棱锥
中，
平面
，
，

，
，则异面直线
与
所

成角的大小为 ；直线
与平面
所成角的正弦值

为 ．

13. 平面向量
满足
，且向量
与向量
的夹角

为
，则
为_____.

14.若实数
满足不等式组
则
的取值范围是

15．将两个直角三角形如图拼在一起，当
点在线段
上移动时，若

,当
取最大值时，
的值是 .

三、解答题：本大题共5小题，满分74分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

16.（本题满分14分）16、（本小题满分15分）在
中，角
，
，
的对边分别为
，
，
，且
．

求角
；

求
的取值范围．

17．（本题满分15分）

已知等差数列
满足：
，
，
的前n项和为
．

（Ⅰ）求
及
；

（Ⅱ）令bn=
（n
N*），求数列
的前n项和
．

18．（本题满分15分）如图，在三棱锥
中，△PAB和△CAB都是以AB为斜边的等腰直角三角形， 若
，D是PC的中点

（1）证明：


；

（2）求AD与平面ABC所成角的正弦值．

19．（本小题满分15分）

已知A、B是椭圆
的左、右顶点，
，过椭圆C的右焦点F的直线交椭圆于点M，N，交直线x=4于点P，且直线PA，PF，PB的斜率成等差数列，R和Q是椭圆上的两动点，R和Q的横坐标之和为2，RQ（不垂直X轴）的中垂线交X轴与于T点

（1）求椭圆C的方程；

（2）求△MNT的面积的最大值

20.（本小题满分15分）已知二次函数
（
，
）．

若
，且不等式
对
恒成立，求函数
的解析式；

若
，且函数
在
上有两个零点，求
的取值范围．

台州市书生中学 2015学年第一学期高三数学（文）第一次月考答卷

一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.）

题目

1

2

3

4

5

6

7

8



选项



















二、填空题：本大题有7小题，9-12每题6分，13-15题每题4分，共36分。

9.

10.

11.

12.

13. 14. 15.

三、解答题：本大题共5小题，满分74分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

16.（本题满分14分）16、（本小题满分15分）在
中，角
，
，
的对边分别为
，
，
，且
．

求角
；

求
的取值范围．

17．（本题满分15分）

已知等差数列
满足：
，
，
的前n项和为
．

（Ⅰ）求
及
；

（Ⅱ）令bn=
（n
N*），求数列
的前n项和
．

18．（本题满分15分）如图，在三棱锥
中，△PAB和△CAB都是以AB为斜边的等腰直角三角形， 若
，D是PC的中点

（1）证明：


；

（2）求AD与平面ABC所成角的正弦值．

19．（本小题满分15分）

已知A、B是椭圆
的左、右顶点，
，过椭圆C的右焦点F的直线交椭圆于点M，N，交直线x=4于点P，且直线PA，PF，PB的斜率成等差数列，R和Q是椭圆上的两动点，R和Q的横坐标之和为2，RQ（不垂直X轴）的中垂线交X轴与于T点

（1）求椭圆C的方程；

（2）求△MNT的面积的最大值

20.（本小题满分15分）已知二次函数
（
，
）．

若
，且不等式
对
恒成立，求函数
的解析式；

若
，且函数
在
上有两个零点，求
的取值范围．

数学（文科）试题参考答案

一、选择题：本题考察基本知识和基本运算。每小题5分，满分40分。

1.C 2.C 3. D 4.B 5.A 6.D 7.A 8.B

二、填空题：本题考查基本知识和基本运算。多空题每题6分，单空题每题4分，满分36分）

9.
10.
11、
，
12、
,

13.
. 14.
15.

三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

16、解析：解：（Ⅰ）由
得
， ………………………………2分

化简得：
即
，

所以
． ………………………………5分

故
． ………………………………7分

（Ⅱ）
………………………………8分

=
， ………………………………9分

=
， ……………………………………10分

=
， …………………………12分

由
可知
，

所以
， ……………………………………13分

故
．

故
．

所以
． …14

17 （本题满分15分）

解：（Ⅰ）设等差数列
的公差为d，因为
，
，所以有

，解得
， （4分）

所以
； （5分）

=
=
． （7分）

（Ⅱ）由（Ⅰ）知
，

所以bn=
=

=
，（12分）

所以
=
=

，（15分）

即数列
的前n项和
=
．

18．（本题满分15分）

解：（1）取AB中点E，连接PE,EC,

由于
为等腰直角三角形，

则
,
, (4分)

则
平面
， (6分)

所以
(7分)

（2）取CE中点O,再取OC中点F，连接PO,DF,AF，

由于
为等腰直角三角形，

又
，(8分)

又

为正三角形 ( 9分)

则
平面ABC， (10分)

(11分)

所以
为所求角． (12分)

，

(13分)

又在
中可求
(14分)

15分

19、（1）设

直线PA，PF，PB的斜率成等差数列


………3分

所以椭圆方程
………4分

（2）设直线MN方程为

联立
得
………6分

………9分

由点差法可知RQ中垂线与x轴相交于点
，

………12分

当
时，
………15分

20.解：(Ⅰ)因为
，所以
， …………………………………3分

因为当
，

都有
，所以有
， ………………………6分

即
，所以
； ………………………………7分

(Ⅱ)解法1：因为
在
上有两个零点，且
，

所以有

………………………………………11分

（图正确，答案错误，扣2分）

通过线性规划可得
. ……………………………………………15分

（若答案为
，则扣1分）

解法2：设
的两个零点分别
，所以
，……9分

不妨设
，
， … ………………………11分

因为
，且
，
， …………13分

所以
，所以
. …………………………………15分

（若答案为
，则扣1分）

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