杭西高2015年10月高三数学（理科）试卷

命题人 徐斌华 审核人 钱敏剑

一、选择题：（每题5分，共40分，每小题给出的选项中只有一个是符合要求的）

1．若不等式错误！未找到引用源。的解集为错误！未找到引用源。,则错误！未找到引用源。的值为(▲ ）

A.
B.
C.
D.

2. 设函数
，若
则
（ ▲ ）

A.
B.
C.
D.
:]

3．下列结论正确的是( ▲ )

A.若向量
∥
，则存在唯一的实数
使

B.已知向量
，
为非零向量，则“
，
的夹角为钝角”的充要条件是“
”

C．若命题
，则

D．“若
，则
”的否命题为“若
，则
”

4．已知角
的顶点与原点重合，始边与
轴非负半轴重合，终边在直线
上，则
的值为（ ▲ ）

A．
B．
C．
D．

5．已知定义在
上的函数
(
)为偶函数．记
， 则
的大小关系为（▲ ）

A．
B．
C．
D．

6．若非零向量
，满足
，则（ ▲ ）

A．|2
|>|2
+
| B．|2
|<|2
+
|

C．|2
|>|
+
| D．|2
|<|
+
|

7.下列函数中，与函数
的奇偶性、单调性均相同的是( ▲ )

8.设集合
，定义函数
，则对于集合
，下列命题中不正确的是（▲ ）

A.
B.

C.
D.

二、填空题（第9，10,11,12题每空格3分；第13,14,15题每题4分）

9．函数
的值域为　▲　，不等式
的解集为　▲ 　．　　 　

10. 已知函数
的一个对称中心是
，则
　▲ 　；现将函数
的图象上每一点的横坐标伸长到原来的5倍（纵坐标不变），得到函数
，再将函数
的图象向左平移
个单位，得到函数
,若
，则
的值是 ▲ ．

11. 如图，在△OAB中，已知P为线段AB上的一点，
若
，求
+
= ▲ ；若
，
，
，且
与
的夹角为60°时，求
的值 ▲ .

12. 已知函数
，
(
)，若
，恒有
成立，则 a的取值范围是 ▲ ；若
，
，使得
，则实数
的取值范围是 ▲ .

13.
＝ ▲ 　 .

14. 已知函数
的部分图象如右图所示，设
是图象的最高点，
是图象与
轴的交点，若
=
，则
▲ .

15.在平面上,
,
,
.若
,则
的取值范围是 ▲ .

解答题（14+15+15+15+15=74分，请写出必要的解题步骤）

16．已知
均为锐角，且
，
．

（1）求
的值； （2）求
的值．

17.（本小题满分15分）

已知函数

（1）当
时，求函数
的单调递增区间；

（2）若方程
在
内恒有两个不相等的实数解，求实数
的取值范围．

18．（本小题满分15分）

己知
ABC的面积为S，角A，B，C的对边分别为a，b,c，
。

(l)求cosA的值；

(2)若a，b，c成等差数列，求sinC的值。

19. （本小题满分15分）

对于函数
若存在
，
成立，则称
为
的不动点．

（1）若函数

（a）当
时，求函数
的不动点；

（b）若对任意实数
，函数
恒有两个相异的不动点，求
的取值范围；

（2）若函数
有两个不动点
，
，记函数
的图像的对称轴为
，求证，如果
，那么
.

20. （本小题满分15分）

设a为实数，设函数
的最大值为g(a)。

　　　（1）设t＝
，求t的取值范围，并把f(x)表示为t的函数m(t)；

（2）求g(a);

（3）试求满足
的所有实数a .

杭西高2015年10月高三数学(理科)答卷

一、选择题（每题5分，共40分，每小题给出的选项中只有一个是符合要求的）

题号

1

2

3

4

5

6

7

8



答案

D

D

D

D

B

C

D

D



二、填空题（第9，10,11,12题每空格3分；第13,14,15题每题4分）

9.
;
10.
;

11. 1 ; -9 12.
;

13.
14.
15.

解答题（14+15+15+15+15=74分，请写出必要的解题步骤）

16．(本小题满分14分) 已知
均为锐角，且
，
．

（1）求
的值； （2）求
的值．

解：（1）∵
，从而
．

又∵
，∴
． ……………3分

∴
． ……………4分

（2）由（1）可得，
．

∵
为锐角，
，∴
． ……………………2分

∴
…………3分

?
?
． …………………2分

17．(本小题满分15分)已知函数

（1）当
时，求函数
的单调递增区间；（2）若方程
在
内恒有两个不相等的实数解，求实数
的取值范围．

解:(1)
=
=
…3分

令
，解得
即
，
………………2分

,
f(x)的递增区间为
，
………………2分

(2)依题意：由
=
，得
，

即函数
与
的图象在
有两个交点，………………3分

∴
，

当
时，
，

当
时，
，
………………4分

故由正弦图像得：
………………1分

18.（本小题满分15分）己知
ABC的面积为S，角A，B，C的对边分别为a，b,c，
。 (l)求cosA的值； (2)若a，b，c成等差数列，求sinC的值。

19．（本小题满分15分）对于函数
若存在
，
成立，则称
为
的不动点．（1）若函数

（a）当
时，求函数
的不动点；

（b）若对任意实数
，函数
恒有两个相异的不动点，求
的取值范围；

（2）若函数
有两个不动点
，
，记函数
的图像的对称轴为
，求证，如果
，那么

解∵f（x）=ax2+（b+1）x+b-1（a≠0），

（a）当a=1，b=-2时，f（x）=x2-x-3．

设x为其不动点，即x2-x-3=x．----------------------------2分

则x2-2x-3=0．∴x1=-1，x2=3．即f（x）的不动点是-1，3．----------------2分

（b）由f（x）=x得：ax2+bx+b-1=0．

由已知，此方程有相异二实根，△x＞0恒成立，

即b2-4a（b-1）＞0．-------------------------------------------2分

即b2-4ab+4a＞0对任意b∈R恒成立．

∴△b＜0．，----------------------------------------------------2分

∴16a2-16a＜0，

∴0＜a＜1．-----------------------------------------------------2分

(2) 函数
有两个不动点
，
,即
有两个根
，
，

则令
有两个零点
，
。满足
，根据抛物线可得

求

画出可行域，得到目标函数的值域。

证得

20. （本小题满分15分）设a为实数，设函数
的

最大值为g(a)。

　　　（1）设t＝
，求t的取值范围，并把f(x)表示为t的函数m(t)

（2）求g(a)

（3）试求满足
的所有实数a

（1）令

要使有t意义，必须1+x≥0且1-x≥0，即-1≤x≤1,[:.]

∴
t≥0

t的取值范围是
-----------------------------------2分

由①得

∴m(t)=a(
)+t=
----------------------2分

（2）由题意知g(a)即为函数
的最大值。

注意到直线
是抛物线
的对称轴，分以下几种情况讨论。

（a）当a>0时，函数y=m(t),
的图象是开口向上的抛物线的一段，

由
<0知m(t)在
上单调递增，∴g(a)=m(2)=a+2-------------1分

(b)当a=0时，m(t)=t,
,∴g(a)=2. ------------1分

(c)当a<0时,函数y=m(t),
的图象是开口向下的抛物线的一段，

若
，即
则

若
，即
则

若
，即
则
---------1分

综上有

--------------------------1分

(3)情形1：当
时
，此时
，

由
，与a<-2矛盾。———————————1分

情形2：当

时，此时
，

解得，
与
矛盾。——————————1分

情形3：当

时，此时

所以
——————————1分

情形4：当
时，
，此时
，

矛盾。———————1分

情形5：当
时，
，此时g(a)=a+2,

由
解得
矛盾。——