河南省中原名校2016届高三上学期第一次联考

数学（理）试题

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）

1、已知
，
，则
（ ）

A．
B．
C．
D．

2、命题“
，使
”的否定是（ ）

A．
，使
B．不存在
，使

C．对
，使
D．对
，使

3、在
中，若点
满足
，则
（ ）

A．
B．
C．
D．

4、为了纪念抗日战争胜利
周年，从甲、乙、丙等
名候选民警中选
名作为阅兵安保人员，为
月
号的阅兵提供安保服务，则甲、乙、丙中有
个被选中的概率为（ ）

A．
B．
C．
D．

5、函数
与
在同一直角坐标系下的图象大致是（ ）

A． B． C． D．

6、设
，
，
，，
，
，则
（ ）

A．
B．
C．
D．

7、由曲线
，直线
，
及
轴所围成图形的面积是（ ）

A．
B．
C．
D．

8、已知集合
，
，从
到
的映射
满足
，那么映射
的个数为（ ）

A．
B．
C．
D．

9、若函数
，
分别是
上的奇函数、偶函数，且满足
，则（ ）

A．
B．

C．
D．

10、《九章算术》“竹九节”问题：现有一根九节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面
节的容积共
升，下面
节的容积共
升，则第五节的容积为（ ）

A．
升 B．
升 C．
升 D．
升

11、下列命题中是假命题的是（ ）

A．
，使
是幂函数，且在
上递减

B．函数
的值域为
，则
或

C．关于
的方程
至少有一个负根的充要条件是

D．函数
与函数
的图象关于直线
对称

12、设
，
，已知函数
的定义域是
，值域是
，若函数
有唯一的零点，则
（ ）

A．
B．
C．
D．

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）

13、已知集合
，
，若
，则实数
的所有可能取值的集合为 ．

14、若
，且
，则
．

15、已知点
，
，
，
，则向量
在
方向上的投影为 ．

16、已知函数
，给出下列四个命题：

①存在实数
，使得函数恰有
个不同的零点；

②存在实数
，使得函数恰有
个不同的零点；

③存在实数
，使得函数恰有
个不同的零点；

④存在实数
，使得函数恰有
个不同的零点．

其中真命题的序号是 （把你认为正确的序号全写上）．

三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）

17、（本小题满分10分）设命题
函数
的定义域为
；命题
不等式
对一切正实数
均成立．

如果
是真命题，求实数
的取值范围；

如果命题
或
为真命题，命题
且
为假命题，求实数
的取值范围．

18、（本小题满分12分）已知二次函数
的图象经过坐标原点，其导函数为
．数列
的前
项和为
，点
（
）均在函数
的图象上．

求数列
的通项公式；

设
，
是数列
的前
项和，求使得
对所有的
都成立的最小正整数
．

19、（本小题满分12分）在
中，角
，
，
的对边分别为
，
，
，已知向量
，
，且
．

求角
的大小；

若
，求
面积的最大值．

20、（本小题满分12分）为了解决西部地区某希望小学的师生饮水问题，中原名校联谊会准备援建一个无盖的圆柱形蓄水池（不计厚度），设该蓄水池底面半径为
米，高
米，体积为
立方米．假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为
元/平方米，底面的建造成本为
元/平方米，该蓄水池的总建造成本为
元（
为圆周率）．

将
表示成
的函数
，并求函数的定义域；

讨论函数
的单调性，并确定
和
为何值时该蓄水池的体积最大．

21、（本小题满分12分）已知
是定义在
上的奇函数，且
，若
，
，
时，有
成立．

判断
在
上的单调性，并证明；

解不等式：
；

若
对所有的
恒成立，求实数
的取值范围．

22、（本小题满分12分）已知函数
（
）．

若
为
的极值点，求实数
的值；

若
在
上为增函数，求实数
的取值范围；

当
时，函数
有零点，求实数
的最大值．

河南省中原名校2016届高三上学期第一次联考

数学（理）试题参考答案

一、选择题：共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.

DDDAC BBAAA DC

二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

(13)
(14)
(15)
(16) ①②③④

三、解答题：（本题共6小题,共70分,解答过程应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

(17) (本题满分10分)

解： （Ⅰ）由题意，若命题
为真，则
对任意实数
恒成立.

若
显然不成立；……………………………….2分

若
则
解得
……………………………….4分

故命题
为真命题时，
的取值范围为
……………………………….5分

（Ⅱ）若命题
为真，则
对一切正实数
恒成立.

而

因为
，所以
，所以
，因此

故命题
为真命题时，
.……………………………….7分

又因为命题
或
为真命题，命题
且
为假命题，即命题
与
一真一假.

若
真
假，则
解得
……………………………….9分

若
假
真，则
解得
……………………………….11分

综上所述，满足题意得实数
的取值范围为
……………………………….12分

(18) (本题满分12分)

解：（Ⅰ） 依题意可设二次函数
则

…………………2分

点
均在函数
的图像上，

…………………3分

当
时，
………………5分

当
时
也适合，
………………………6分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知
………7分

故
…………………9分

因此，要使