大庆实验中学2015—2016高三上半学年数学（理）开学考试

第Ⅰ卷(选择题 共60分）

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1.已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0

A．1 B．2 C．3 D．4

2.若i(x＋yi)＝3＋4i，x，y∈R，则复数x＋yi的模是(　　)

A．2 B．3 C．4 D．5

3.设f(x)＝g(x)＝则f(g(π))的值为(　 　)

A．1　　　　　　 B．0 C．－1 D．π

4.如图，若依次输入的x分别为、，相应输出的y分别为y1、y2，则y1、y2的大小关系是(　 　)

A．y1＝y2 B．y1>y2 C．y1

5.已知数列{an}满足a1＝5，anan＋1＝2n，则＝(　 　)

A．2 B．4 C．5 D.

6．从{1,2,3,4,5}中随机选取一个数a，从{1,2,3}中随机选取一个数b，则a

A.　　　　　　　　 B. C. D.

7.若函数f(x)＝sin (φ∈[0,2π])是偶函数，则φ＝(　 　)

A.　　　　　　　　 B. C. D.

8. 若函数
在区间
内恒有
则
的单调增区间为（ ）

A.
B.
C.
D.

9.双曲线
（
，
）的左、右焦点分别是
，过
作倾斜角为
的直线交双曲线右支于
点，若
垂直于
轴，则双曲线的离心率为（ ）

A．
B．
C．
D．

10.函数
的图象大致是（ ）

11. 已知某几何体的三视图如图所示，其中正视图、侧视图均由直角三角形与半圆构成，俯视图由圆与内接三角形构成，根据图中的数据可得几何体的体积为(　　)

A.＋ B.＋ C.＋ D.＋

12. 已知O是平面上的一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足
,
, 则动点P的轨迹一定通过△ABC的( )

A. 重心 B. 垂心 C. 外心 D. 内心

第Ⅰ卷(非选择题 共90分）

二、　填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题卡相应的位置上.）

13. 圆心在直线
上，且与两坐标轴均相切的圆的标准方程是__________.

14. 设变量
满足约束条件：
，则
的最小值 ．

15. 若数列{an}满足－＝d(n∈N*，d为常数)，则称数列{an}为调和数列．记数列{}为调和数列，且x1＋x2＋…＋x20＝200，则x5＋x16＝________.

三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程和演算步骤.)

17.（本小题满分12分）已知
的周长为
，且
．

（1）求边
的长；（2）若
的面积为
，求角
的度数．

18. （本小题满分12分）某地区有小学21所，中学14所，大学7所，现采用分层抽样的方法从这些学校中抽取6所学校对学生进行视力调查．(1)求应从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目；

(2)若从抽取的6所学校中任取3所学校做进一步数据分析，①求取出的3所学校中没有小学的概率；②设取出的小学个数为随机变量
，求
的分布列和数学期望.

19. （本小题满分12分）如图，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD∥QA，QA＝AB＝PD.(1)证明：平面PQC⊥平面DCQ；(2)求二面角Q－BP－C的余弦值．

20．（本小题满分12分）在直角坐标系xOy中，已知中心在原点，离心率为的椭圆E的一个焦点为圆C：x2＋y2－4x＋2＝0 的圆心．(1)求椭圆E的方程；(2)是否存在点P，P是椭圆E上一点，过P作两条斜率之积为的直线l1，l2，且直线l1，l2都与圆C相切.若存在，求P的坐标，若不存在，说明理由．

21．（本小题满分12分）函数
数列
满足
.

（1）试求
的单调区间；（2）求证：数列
为递减数列，且
恒成立.

请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。

22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

如图，圆O的半径
垂直于直径AC，M为AO上一点，BM的延长线交圆O于N，过N点的切线交CA的延长线于P.

⑴求证：
；

⑵若圆O的半径为
，求
的长.

23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

在极坐标系中，已知圆C经过点P ，圆心为直线ρsin＝－与极轴的交点.(1)求圆C的极坐标方程;(2)求直线
被圆C所截得的弦长.

24.（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲

设函数f(x)＝|2x－1|＋|2x－3|，x∈R.

(1)解不等式f(x)≤5；(2)若
的定义域为R，求实数
的取值范围．

参考答案

一、选择题DDBCB DCACD CC

11. 解析：选C　根据三视图可知该几何体为一个四棱锥和三棱锥的组合体，如图所示，且EA⊥平面ABCD，FD⊥平面ABCD，底面ABCD为正方形，则有FD＝4，AE＝2，AD＝DC＝4，FD∥EA，所以F和D到平面AEB的距离相等，且为4，故VF－BAE＝×S△BAE×AD＝××4×2×4＝，VF－ABCD＝×S四边形ABCD×FD＝×4×4×4＝，则该几何体的体积为＋＝.

12. 解：设BC的中点为D，则
，

则由已知得
，

∴

=
=
= 0 .

∴DP⊥BC，P点在BC的垂直平分线上，故动点P的轨迹通过△ABC的外心. 选C .

二、填空题 13.
或

14.
; 15.
; 16.

16.

三、解答题

17. 解：（I）由题意及正弦定理，得
，

，两式相减，得
．

（II）由
的面积
，得
，

由余弦定理，得

，

所以
．

18. 解：(1)从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目为3,2,1.

(2)①从6所学校中任取的3所学校没有小学(记为事件B)的概率为P(B)＝
.

②

























数学期望为
.

19. 解析：如图，以D为坐标原点，线段DA的长为单位长度，射线DA为x轴的正半轴建立

空间直角坐标系D－xyz.

(1)证明：依题意有Q(1,1,0)，C(0,0,1)，P(0,2,0)．则＝(1,1,0)，D＝(0,0,1)，P＝(1，－1,0)．因为·＝0，·＝0.

所以PQ⊥DQ，PQ⊥DC.所以PQ⊥平面DCQ.

又PQ?平面PQC，所以平面PQC⊥平面DCQ.

(2)依题意有B(1,0,1)，＝(1,0,0)，＝(－1,2，－1)．

设n＝(x，y，z)是平面PBC的一个法向量，

则即

因此可取n＝(0，－1，－2)．设m是平面PBQ的一个法向量，则

可取m＝(1,1,1)，所以cos〈m，n〉＝－.故二面角Q－BP－C的余弦值为－.

20. 解：(1)由x2＋y2－4x＋2＝0得(x－2)2＋y2＝2，故圆C的圆心为点(2,0)．

从而可设椭圆E的方程为＋＝1(a>b>0)，其焦距为2c.由题设知c＝2，e＝＝.所以a＝2c＝4，b2＝a2－c2＝12.故椭圆E的方程为＋＝1.

(2)假设存在这样的点P.设点P的坐标为(x0，y0)，l1，l2的斜率分别为k1，k2，则l1，l2的方程分别为l1：y－y0＝k1(x－x0)，l2：y－y0＝k2(x－x0)，且k1k2＝，

由l1与圆C：(x－2)2＋y2＝2相切得＝，即[(2－x0)2－2]k＋2(2－x0)y0k1＋y－2＝0.同理可得[(2－x0)2－2]k＋2(2－x0)y0k2＋y－2＝0.

从而k1，k2是方程[(2－x0)2－2]k2＋2(2－x0)y0k＋y－2＝0的两个实根，于是

①且k1k2＝＝.

由得5x－8x0－36＝0，解得x0＝－2，或x0＝.

由x0＝－2得y0＝±3；由x0＝得y0＝±，它们均满足①式．

所以假设成立，且点P的坐标为(－2,3)，或(－2，－3)，或，或.

21. 解：易知
的定义域为
，

对函数
求导得
，因

所以
，又
，所以
，

所以
的增区间为
.

证明：易知当
时，
，所以
时
.

22. 解：⑴连结ON，∵PN切
于
，∴
，∴
.

∵
，∴
.

∵
于
，∴

∴
，∴
.

∴
.（5分）

⑵
.

∵
∴
.（10分）

23.解：在ρsin＝－中令θ＝0，得ρ＝1，所以圆C的圆心坐标为(1,0)．

因为圆C经过点P，所以圆C的半径PC＝

＝1，于是圆C过极点，所以圆C的极坐标方程为ρ＝2cos θ.

（2）弦长为
.

24. (1)不等式的解集为x∈