高2016级高三上期入学考试试卷

数 学（理科）

第Ⅰ卷（选择题 共60分）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设集合
，
，则
（ ）

A．
B．
C．
D．

2．复数
满足
，其中
为虚数单位，则在复平面上复数
对应的点位（）

A．第一象限 B． 第二象限 C． 第三象限 D． 第四象限

3．已知正数组成的等比数列
，若
，那么
的最小值为（ ）

A．20 B．25 C．50 D．不存在

4．设
，则“
”是“
”的( )

A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件

5．若
，
满足
则
的最大值为（ ）

A．0 B．1 C．
D．2

6．已知函数
，则函数
的图象的一条对称轴是（ ）

A．
B．
C．
D．

7．已知双曲线C ：
-
=1的焦距为10 ，点
（2,1）在C 的渐近线上，则C的方程为( )

A.
-
=1 B.
-
=1 C.
-
=1 D.
-

8．执行如图所示的程序框图，输出的S值为（ ）

A. 2 B .4 C.8 D. 16

9．已知点
，若函数
的图象上存在两点B、C到点A的距离相等，则称该函数
为“点距函数”，给定下列三个函数：①
；②
；③
．其中，“点距函数”的个数是（）

A． 0 B． 1 C． 2 D． 3

10．已知函数
若
则实数
的取值范围是

A
B
C
D

11．在△
中，
=2,
=3 ,
·
=1，则
= ( )

A.
B.
C.
D.

12．已知定义在
上的函数
满足
=2
，当
时，
．设
在
上的最大值为
（
），且{
}的前
项和为
，则
=（ ）

A．
B．
C．
D．

第Ⅱ卷(非选择题 共90分)

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上．.

13．在
的展开式中，含
项的系数为

14．古代“五行”学说认为：“物质分金、木、水、火、土五种属性，金克木，木克土，土克水，水克火，火克金，”从五种不同属性的物质中随机抽取两种，则抽取的两种物质不相克的概率是．________

15．已知P为△ABC所在的平面内一点，满足
，△ABC的面积为2015，则ABP的面积为 ．

16．若实数
成等差数列，点
在动直线
上的射影为
，点
，则线段
长度的最小值是 ．

三、解答题：本大题共5小题，满分70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤

17．（本小题满分14分）已知函数

（Ⅰ）求
最小正周期；

（Ⅱ）求
在区间
上的最大值和最小值.

18．（本小题满分14分）已知
是递增的等差数列，
，
是方程
的根。

（I）求
的通项公式；

（II）求数列
的前
项和.

19．（本小题满分14分）为了参加2013年市级高中篮球比赛，该市的某区决定从四所高中学校选出12人组成男子篮球队代表所在区参赛，队员来源人数如下表：

学校

学校甲

学校乙

学校丙

学校丁



人数

4

4

2

2



该区篮球队经过奋力拼搏获得冠军，现要从中选出两名队员代表冠军队发言．

（Ⅰ）求这两名队员来自同一学校的概率；

（Ⅱ）设选出的两名队员中来自学校甲的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列及数学期望Eξ．

20．（本小题满分14分）定义：若两个椭圆的离心率相等，则称两个椭圆是“相似”的． 如图，椭圆
与椭圆
是相似的两个椭圆，并且相交于上下两个顶点．椭圆
的长轴长是4，椭圆
短轴长是1，点
分别是椭圆
的左焦点与右焦点，

（Ⅰ）求椭圆
，
的方程；

（Ⅱ）过
的直线交椭圆
于点
，求
面积的最大值．

21．设函数
,
,其中
为实数.

(1)若
在
上是单调减函数,且
在
上有最小值,求
的取值范围;

(2)若
在
上是单调增函数,试求
的零点个数,并证明你的结论.

选修题：请考生在第（22）、（23）（24）三体中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．选修4-1：几何证明选讲

22．如图所示，圆O的直径为BD，过圆上一点A作圆O的切线AE，过点D作DE⊥AE于点E，延长ED与圆O交于点C．

（1）证明：DA平分∠BDE；

（2）若AB=4，AE=2，求CD的长．

23．在直角坐标系
中，以
为极点，
轴正半轴为极轴建立坐标系，直线
的参数方程为
，（
为参数），曲线
的方程为
，定点
，点
是曲线
上的动点，
为
的中点．

（1）求点
的轨迹
的直角坐标方程；

（2）直线
与曲线
交于
两点，若
，求实数
的取值范围．

24．已知函数
，

（Ⅰ）当
时，解不等式
；

（Ⅱ）若存在
，使得
成立，求实数
的取值范围．

高2016级高三上期入学考试试卷

数 学（理工农医类）参考答案

第Ⅰ卷（选择题 共60分）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设集合I={x|﹣3＜x＜3，x∈z}，A={1，2}，B={﹣2，﹣1，2}，则A∩（?IB）等于（）

A． {1} B． {1，2} C． {0，1，2} D． {﹣1，0，1，2}

考点： 交、并、补集的混合运算．

解析： 由全集I及B，求出B的补集，找出A与B补集的交集即可．

∵集合I={x|﹣3＜x＜3，x∈Z}={﹣2，﹣1，0，1，2}，A={1，2}，B={﹣2，﹣1，2}，∴?IB={0，1}，则A∩（?IB）={1}．故选：A．

点评： 此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

2．复数
满足
，其中
为虚数单位，则在复平面上复数
对应的点位（）

A．第一象限 B． 第二象限 C． 第三象限 D． 第四象限

考点： 复数的代数表示法及其几何意义；复数相等的充要条件．

解析： 根据两个复数相除，分子和分母同时乘以分母的共轭复数，化简复数z为=1﹣i，故z对应点的坐标为（1，﹣1），从而得出结论．故选D．

点评： 本题主要考查两个复数代数形式的除法，虚数单位i的幂运算性质，复数与复平面内对应点之间的关系，属于基础题．

3．已知正数组成的等比数列
，若
，那么
的最小值为（ ）

A．20 B．25 C．50 D．不存在

考点： 等比数列的通项公式．

解析： 由已知得a7+a14≥2
．故选：A．

点评： 本题考查等比数列中两项和的最小值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意均值定理的合理运用．

4．设
，则“
”是“
”的( )

A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件

考点：不等式解法与充分条件、必要条件.

解析：
,
或
，所以

“
”是“
”的充分不必要条件，故选A.

点评：本题主要考查不等式的解法、充分条件与必要条件相关问题，将含绝对值不等式与一元二次不等式和解法、充分条件、必要条件、充要条件相关的问题联系在起来，体现综合应用数学知识解决问题的能力，是基础题

5．若
，
满足
则
的最大值为（ ）

A．0 B．1 C．
D．2

考点：本题考点为线性规划的基本方法

解析：如图，先画出可行域，由于
，则
，令
，作直线
，在可行域中作平行线，得最优解
，此时直线的截距最大，
取得最小值2.故选D

点评：本题考查线性规划解题的基本方法，本题属于基础题,要求依据二元一次不等式组准确画出可行域，利用线性目标函数中直线的纵截距的几何意义，令
，画出直线
，在可行