湖北省部分重点中学2015-2016 学年度上学期新起点考试

数学试卷(理科)

一、选择题：本大题共12 小题，每小题5 分，共60 分． 在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的．

1．设函数
的定义域为M ，N =
,则如图所示的阴影部分

所表示的集合是

2．已知复数
的实部是m，虚部是n，则mn =

A．3 B．－3 　　C．3i　　 D．－3i

3．已知函数
，则“ f (x)是奇函数”是“
”

的

A．充分不必要条件 　　B．必要不充分条件

C．充分必要条件 　　　D．既不充分也不必要条件

4. PM2.5是指环境空气中空气动力学当量直径小于或等于2.5 微米的颗粒物.一般情况下PM2.5浓度越高,就代表空气污染越严重,如图所示的茎叶图表示的是某市区甲、乙两个监测站某10日内每天的PM2.5浓度读数（单位：
），

则下列说法正确的是

A．这10 日内甲、乙监测站读数的极差相等

B．这10 日内甲、乙监测站读数的中位数中，乙的较大

C．这10 日内乙监测站读数的众数与中位数相等

D．这10 日内甲、乙监测站读数的平均数相等

5． 设
是两个不同的平面，l,m是两条不同的直线，命题

则l∥m；命题
.下列命题为真命题的是

A． p或q 　　B． p且q　　 C．
p或q 　　D． p且
q

6．如图1 是某区参加2015 届高考学生的身高条形统计图，从左到右的各条形图表示的学生

人数依次记为
（如A2 表示身高在［150,155）内的学生人数，图 2 是统计

图1 中身高在［160,185）（单位：厘米）的学生人数，那么在流程图中的判断框内应填写的

条件是

A．i ＜9? 　　　B．i ＜8? 　　C．i ＜7?　　 D．i ＜6?

7．已知定义在R上的函数 f (x)满足

?
则 f (2014), f (2015), f (2016)的大小关系为

A． f ( 2 0 1 4?) ＞f ( 2 01 5)＞f ( 2 0 1 6 )　　B． f (2016) ＞f (2014) ＞f (2015)

C． f (2016) ＝f (2014) ＞f (2015)　　　　　 D． f (2014) ＞f (2015) ＝f (2016)

8．已知圆
,设平面区域
,若圆心C
?,且圆与

x 轴相切,则
的最大值为

A．5 　　　B．29 　　C．37 　　　D．49

9．设
为非零向量,
,两组向量
均由两个
和两个

排列而成,而
所有可能取值中的最小值为

夹角为

10．已知
分别是双曲线
的左右焦点,若在双曲线的右支上存

在一点M ,使得
(其中O为坐标原点),且
, 则双曲线

的离心率为

11．已知函数
函数
，若函

数
恰有 4个零点，则b 的取值范围是

A

12 .方程
确定的曲线为函数 y ＝f (x)的图像,对于函数 y ＝f (x)有如下说

法:① f (x)在R上单调递减;②F(x) ＝4 f (x) +3x不存在零点; ③函数 y ＝f (x)的值

域是R ; ④若函数g(x)和 f (x)的图像关于原点对称,则函数 y ＝g(x)的图像就是方程
确定的曲线.以下说法正确的是

二、填空题：本大题共 4小题，每小题5分，共20分． 请将答案填在答．题．卡．对．应．题．号．的位置上．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分．

13． 设
展开式的常数项为＿＿＿＿

14． 在平面直角坐标系xoy中，点 A,B在抛物线y2 ＝4x上，满足
＝－4，F 是抛

物线的焦点，则
＝＿＿＿＿＿＿

15．若自然数 n使得n +(n +1) +(n +2)作竖式加法不产生进位现象，则称n为“良数”.例

如32 是“良数”，因为32+33+34 不产生进位现象；23 不是“良数”，因为23+24+25 产生进位

现象，那么小于1000 的“良数”的个数为　　　　　

16.对于函数
，有下列四个命题：①任取
，都

有
恒成立；②
对一切
恒成立；

③函数 y ＝f (x) －ln(x －1)有 3 个零点；④对任意的x ＞0，不等式
恒成立.

则其中真命题的序号是　　　　　　　

三、解答题：本大题共6 小题，共75 分． 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（本小题满分12 分）设
是公比大于1 的等比数列, S n 为数列
的前n 项和,已知

S3 =7,且
构成等差数列

(1) 求数列
的通项公式;

(2)令*
,求数列
的前n 项和T n .

18．（本小题满分12 分）如图，四棱柱ABCD－
底面ABCD,四边形

ABCD为梯形， AD∥BC, AD ＝2BC,过 A1 ,C,D三点的平面记为
与
的交点为

Q

(1) 证明: Q为BB1 的中点;

(2) 若A 1 A ＝4,CD ＝2 ,梯形 ABCD的面积为6,求平面
与底面ABCD所成角的大小.

19．（本小题满分12 分）在一个盒子中,放有大小相同的红,白,黄三个小球,先从中任意摸出一

球,若是红球,记1 分,白球记2 分,黄球记3 分.现从这个盒子中有放回地先后摸出两球,所得分

数分别记为x, y ,设O为坐标原点,点P的坐标为（x －2, x －y）,记

(1)求随机变量
的最大值,并求事件”
取得最大值”的概率;

(2)求随机变量
的分布列和数学期望.

20．（本小题满分12 分）已知椭圆
,两定直线

直线l1恰为抛物线E : y2 ＝16x的准线,直线l : x +2y －4 ＝0与椭圆相切.

(1)求椭圆C 的方程;

(2)如果椭圆C 的左顶点为 A ,右焦点为 F ，过 F 的直线与椭圆C 交于 P,Q 两点,直线

AP, AQ与直线l 2分别交于N,M 两点,求证:四边形MNPQ的对角线的交点是定点.

21．（本小题满分12分）已知函数

(1) 求?
的单调区间与极大值;

(2) 任取两个不相等的正数
,若存在
成立,

求证:
;

(3) 已知数列
满足*
,求证:
(e 为自然对数

的底数)

四．选作题 请考生在第22、23、24 题中任选一题作答，多答按所答的首题进行评分。作答

时，请写清题号。

22.（本小题满分10 分）选修4-1 几何证明选讲

已知 PQ 与圆 O 相切于点 A ，直线 PBC 交圆于 B、C 两点， D 是圆上一点，且

AB ∥ DC , DC 的延长线交PQ于点Q.

（1）求证： AC2 ＝CQ? AB

（2）若 AQ ＝2AP, AB ＝
, BP ＝2，求QD.

23.（本小题满分10 分）选修4-4 坐标系与参数方程

在平面直角坐标xoy 系中，曲线C1的参数方程为
为参数），曲线C2 的参数

方程为
为参数）在以O为极点， x 轴为正半轴为极轴的极坐标系

中，射线
各有一个交点，当
＝0时，这两个交点的距离为 2，当
时，这两个交点重合.

(1)分别说明
是什么曲线，并求出a,b的值.

（2）设当
时，l 与
得交点为
,当
时，l 与
得交点为
。

求四边形
的面积.

24.（本小题满分10 分）选修4-5 不等式选讲

已知

(1) 当a ＝－3时，求不等式 f (x)≥3的解集.

(2) 若 f (x) ≤｜x －4 ｜的解集包含［1,2］，求a的取值范围.

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数学试卷参考答案(理)

选择题CABCCA CCBDDD

13、

14、2 15、48 16、

解答题

17、（1）由已知
解得

设
的公比为
，

6分

(2)

12分

18、 (1)证明：因为BQ∥AA1，BC∥AD，

BC∩BQ＝B，AD∩AA1＝A，

所以平面QBC∥平面A1AD，

从而平面A1CD与这两个平面的交线相互平行，

即QC∥A1D.

故△QBC与△A1AD的对应边相互平行，

于是△QBC∽△A1AD，

所以＝＝＝，即Q为BB1的中点． 6分

（2）方法一：如图1所示，在△ADC中，作AE⊥DC，垂足为E，连接A1E.

又DE⊥AA1，且AA1∩AE＝A，

所以DE⊥平面AEA1，所以DE⊥A1E.

所以∠AEA1为平面α与底面ABCD所成二面角的平面角．

因为BC∥AD，AD＝2BC，所以S△ADC＝2S△BCA.

又因为梯形ABCD的面积为6，DC＝2，

所以S△ADC＝4，AE＝4.

于是tan∠AEA1＝＝1，∠AEA1＝.

故平面α与底面ABCD所成二面角的大小为.

方法二：如图2所示，以D为原点，DA，分别为x轴和z轴正方向建立空间直角坐标系．

设∠CDA＝θ，BC＝a，则AD＝2a.

因为
，所以

从而可得
，
，

所以
，

设平面A1DC的法向量
， 图2

由

得
所以

又因为平面ABCD的法向量
所以

故平面
与底面ABCD所成二面角的大小为
. 12分

19、（1）
可能的取值为1，2，3

且当
或
时，

因此，随机变量
的最大值为5.

有放回摸两球的所有情况有
种，
5分

（2）
的所有取值为0，1，2，5

时，只有
这一种情况，

时，有
或
或
或
四种情况，

时，有
或
两种情况，

则随机变量
的分布列为：

0

1

2

5



P













因此
得数学期望
12分

20、（1）设椭圆的右焦点为
，由题知抛物线的准线方程为
即

由
消去x，得：
，整理得：

∵直线和椭圆相切，∴

整理得：
即
，又
，∴

解得
，又由于
，∴
，∴

∴椭圆方程为
6分

（2）证明：由（1）知，
，直线

根据椭圆的对称性，当直线PQ⊥x轴时，四边形MNPQ是等腰梯形，对角线PM，QN的交点在x轴上.

此时，直线PQ的方程为

由
得
，不妨取

直线AP的方程为
，将
代入得

∴直线QN的方程为
，令
得
，即直线QN与x轴交点为
，此点恰好为椭圆的右顶点.

下面只要证明，在一般情况下Q，N，R三点共线即可.

设
，直线PQ方程为

由
，消去y得：
，整理得：

∴

∵
三点共线

∴
共线，

所以
，即

由于

∴

∴
共线，即Q，N，R三点共线

同理可证，P，M，R三点共线

∴四边形MNPQ的对角线的交点是定点，此定点恰为椭圆的右顶点. 12分

21、（1）解:由已知有

于是

故当

所以
得单调递增区间是
，单调递减区间是
，
的极大值是
. 4分

（2）证明:因为
所以
于是

令
,因为
,只需证明

令
,则

在
递减,

于是
即
即
,故
,仿此可证

故
. 8分

(3)证明:因为
,所以