湖北省枣阳市第一中学2016届高三8月第一次月考

数学试题（理科）

第I卷 （选择题，共60分）

一、选择题(本大题共12小题，每题5分，共计60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)

1．已知数列{an}满足an=n·pn（n∈N+，0< p

①当p=
时，数列{an}为递减数列；

②当

③当0

④当
为正整数时，数列{an}必有两项相等的最大项

①② B．③④ C．②④ D．②③

2．已知函数
的两个极值点分别为
，且


，点
表示的平面区域为
，若函数
的图像上存在区域
内的点，则实数
的取值范围是（ ）

A．
B．
C．
D．

3．已知椭圆
（
）与双曲线
（
，
）有相同的焦点
和
，若
是
、
的等比中项，
是
与
的等差中项，则椭圆的离心率是（ ）

A．
B．
C．
D．

4．函数

在点
处的切线斜率的最小值是（ ）

A．
B．
C．
D．

5．
中,
，点
在双曲线
上，则
=（ ）

A．
B ．
C．
D．

6．执行如图所示的程序框图，输出的
值为（ ）

A．
B．
C．
D．

7．甲、乙两名同学，在班级的演讲比赛中，得分情况如图所示，记甲、乙两人的平均得分分别为
、
，则下列判断正确的是

A．
，甲比乙成绩稳定

B．
，乙比甲成绩稳定

C．
，甲比乙成绩稳定

D．
，乙比甲成绩稳定

8．某几何体的三视图如图所示，正（主）视图中半圆的半径为1，则该几何体的表面积为（ ）

A．
B．
C．
D．

9．“
是“直线
与圆
相交”的（ ）

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

10．若曲线
（
为参数）与曲线
相交于
,
两点，则
的值为（ ）．

A．
B．
C．
D．

11．不等式组
的解集为 （ ）

A．
B．
C．
D．

12．已知全集
，则集合
（ ）

A．

B．

C．

D．

第II卷（非选择题）

填空题（本大题共4小题，每题5分，共计20分）

13．函数
在
处的导数是

14．如图，在菱形
中，
，
，
为
的中点，则
的值是 ．

15．定义一种运算如下：
＝ad－bc，则复数
的共轭复数是 ．

16．一个三位自然数百位，十位，个位上的数字依次为a，b，c，当且仅当有两个数字的和等于第三个数字时称为“有缘数”（如213，134等），若
，且a，b，c互不相同，则这个三位数为”有缘数”的概率是 ．

三、解答题（本大题共5小题，每题12分，共计60分）

17．（本小题满分12分）

已知
，
(ω>0)，函数
的最小正周期为π

(1) 求函数
的单调递减区间及对称中心；

(2) 求函数
在区间
上的最大值与最小值．

18．（本小题满分12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，C＝
，a＝5，△ABC的面积为10
.

(1)求b，c的值；

(2)求cos
的值．

19．（本小题满分12分）已知函数
，在点
处的切线方程为
．

（Ⅰ）求函数
的解析式；

（Ⅱ）若对于区间
上任意两个自变量的值
，都有
，求实数
的最小值；

20．（本小题满分10分）

已知点的序列An（xn，0），n∈Ｎ*，其中xl＝0，x2＝a（a＞0），A3是线段AlA2的中点，A4是线段A2A3的中点，…，An是线段An－2An－1的中点，…．

（1）写出xn与xn－1、xn－2之间的关系式（n≥３）；

（2）设an＝xn＋1－xn，计算al，a2，a3，由此推测数列｛an｝的通项公式，并加以证明．

21．（本小题满分14分）

在如图所示的几何体中，四边形
为正方形，
平面
，
，

．



（Ⅰ）若点
在线段
上，且满足
,求证：
平面
；

（Ⅱ）求证：
平面
；

（Ⅲ）求二面角
的余弦值．

四、选做题（本题满分10分，请从22，,23题任选一题做答）

22．已知曲线
的参数方程为
（
为参数），在同一平面直角坐标系中，将曲线
上的点按坐标变换
得到曲线
．

湖北省枣阳市第一中学2016届高三8月第一次模拟

数学试题（理科）

选择题

1-6 BCBADC 7-12 BAADCD

填空题

13．

14.1

15．

16．

解答题

17．（1）

=

=

=

所以，
…………………………4分

由

得

所以，
的单调减区间为
……………6分

由

所以，对称中心为
……………8分

………12分

18．（1）c＝7

由已知，C＝
，a＝5，因为S△ABC＝
absinC，即10
＝
b·5sin
，解得b＝8.

由余弦定理可得：c2＝25＋64－80cos
＝49,所以c＝7.

由(1)有cosB＝
，由于B是三角形的内角，易知sinB＝
，所以cos
＝cosBcos
＋sinBsin
＝
.

19．（Ⅰ）
；

由在点（1,f（1））处的切线方程可建立关系式
,得到关于a,b的两个方程,通过解方程组得到a,b的值,因而的f（x）的解析式;（Ⅱ）不等式
等价于
即
，利用导数与函数的性质的关系求出函数在区间上的最值得解．

试题解析：（I）
2分

根据题意，得
即

解得

6分

（Ⅱ）令

，解得

，
[:]

时，
10分

则对于区间[-2，2]上任意两个自变量的值
，都有

所以
所以
的最小值为4。 12分

20．解：（1）当n≥3时，xn=
．…………………4分

（2）a1=x2－x1=a，a2=x3－x2=
－x2=－
（x2－x1）=－
a，

a3=x4－x3=
－x3=－
（x3－x2）=－
（－
a）=
a，

由此推测：an=（－
）n－1a（n∈N*）． …………………7分

证明如下：因为a1=a＞0，且an=xn+1－xn=
－xn=
=－
（xn－xn－1）

=－
an－1（n≥2），所an=（－
）n－1a． …………………10分

21．（1）第一问中利用线面平行的判定定理，先得到线线平行，根据已知条件得到

过
作
于
，连结
，则则
，又
，所以
.

又
且
，

所以
，且
，

所以四边形
为平行四边形，

所以
.

所以得到线面平行。

第二问中，通过以
为原点，建立如图所示的空间直角坐标系
.

利用平面的法向量的夹角与二面角的大小相等或者互补的结论，借助与代数的手段求解得到二面角的大小。

证明：（Ⅰ）过
作
于
，连结
，



则
，又
，所以
.

又
且
，

所以
，且
，

所以四边形
为平行四边形，

所以
.

又
平面
，
平面
，

所以
平面
. ……4分

（Ⅱ）因为
平面