荆州中学高三年级第一次质检数学理科卷

命题人：陈侃 审题人：李祥知

一、选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)

1.已知集合
，则
(　　)

A．
???? B．
???? C．
??? D．

2.下列函数是奇函数的是（ ）．

A.
B.
C.
D.

3．“
”是“函数
不存在零点”的（ ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分又不必要条件

4．若方程
有正数解，则实数a的取值范围是（　　）

　 A．
B．
C．
D．

5．已知点
为抛物线

上的动点(不含原点)，过点
的切线交
轴于点
，设抛物线
的焦点为
，则
( )

A．一定是直角 B．一定是锐角 C．一定是钝角 D．上述三种情况都可能

6. 下列说法正确的是( )

A. 若
则“
”是“
”的必要不充分条件

B. “
为真命题”是“
为真命题”的必要不充分条件

C. 若命题
“
”，则
是真命题

D. 命题“
使得
”的否定是“
”

7．在如图所示的正方形中随机掷一粒豆子，豆子落在该正方形内切圆的四分之一圆(如图阴影部分)中的概率是( )

A．
B．
C．
D．

8．已知函数
，若
在
上为减函数，则
的取值范围为（ ）

A．
B．
C．
D．

9. 已知函数
的值域为
，则实数
的取值范围是（ ）

A.
B.
C.
D.

10.过双曲线
左焦点
，倾斜角为
的直线交双曲线右支于点
，若线段
的中点在
轴上，则此双曲线的离心率为（ ）

A.
B.
C.3 D.

11.定义方程
的实数根
叫做函数
的“新驻点”，若函数

的“新驻点”分别为
，则
的大小关系为（ ）

A．
B．
C．
D．

12．已知
是定义在
上的奇函数，当
时，
，当
时，
，若直线
与函数
的图象恰有11个不同的公共点，则实数
的取值范围为（ ）

A．（2
－2，2
－4） B．（
＋2，
＋
）

C．（2
＋2，2
＋4） D．

二、 填空题：(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上.)[:]

13．安排甲、乙、丙、丁四人参加周一至周六的公益活动，每天只需一人参加，其中甲参加三天活动，乙、丙、丁每人参加一天，那么甲连续三天参加活动的概率为

14．若方程
有两个解，则实数
的取值范围是　 　．

15．已知函数
是定义在
上的奇函数，当
时，
，则当
时，
.

16. 已知函数
满足
，设
是方程
的两根，则
的取值范围是 .

三、解答题：(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.)

17．(本小题满分 12分)设命题
：函数
的定义域为
；命题
：对任意
，不等式
恒成立；如果命题

“
”为真命题，“
”为假命题，求实数
的取值范围．

18. (本小题满分 12分)已知函数
满足①
；②
.

(1)求函数
的解析表达式；

（2）若对任意
，都有
恒成立，求实数
的取值范围.

19．（本小题满分12分）

已知
，
.

（1）求
的解析式；

（2）解关于
的方程

20．(本小题满分 12分)已知椭圆C：

的右焦点
，右顶点
，且
.

（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；

（Ⅱ）若动直线
与椭圆C有且只有一个交点P，且与直线
交于点Q，问：是否存在一个定点
，使得
.若存在，求出点M坐标；若不存在，说明理由.

21．(本小题满分 12分)已知函数
．

（1）若
对
恒成立，求实数m的取值范围；

（2）求证：对
均成立（其中
为自然对数的底数，
≈2.71828）．

请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分．

选修4-1：几何证明选讲

22．如图，已知AD是△ABC的外角∠EAC的平分线，交BC的延长线于点D，延长DA交△ABC的外接圆于点F，连结FB，FC．

（1）求证：FB=FC；

（2）若FA=2，AD=6，求FB的长．

选修4-4：坐标系与参数方程

23．已知直线
的参数方程为
（t为参数），以坐标原点为极点，
轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程是ρ=
．

（1）写出直线
的极坐标方程与曲线C的普通方程；

（2）若点 P是曲线C上的动点，求 P到直线
的距离的最小值，并求出 P点的坐标．

选修4-5：不等式选讲

24．已知
。

（Ⅰ）解不等式
；

（Ⅱ）若不等式
恒成立，求
的取值范围．

荆州中学高三年级第一轮质检数学(理科)卷

参考答案

BAACA ACDBD CD

（1，+∞）

17．解命题
：
的定义域为
?Δ＝16－4a2<0?a>2或

a<－2.

命题q：∵m∈[－1,1]， ∴∈[2，3]．

∵对任意m∈[－1,1]，不等式a2－5a－3≥恒成立，

∴只须满足a2－5a－3≥3，解得a≥6或a≤－1.

∵“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，则p与q一真一假．

①若p真q假，则?2

②若p假q真，则?－2≤a≤－1，

综上，a的取值范围为[－2，－1]∪(2,6)

18．（1）
即
，又
，又
，
。

所以

（2）由已知得，
在
上恒成立。由于
在
上的最小值在
取得，所以
，故
即
.

19.解：（1）令
即
，则
[:]

即

(2)由
化简得：
即

当
时，方程无解 当
时，解得

若
，则
若
，则
[:]

21.（1）解：f（x）≥0等价于m≥
对?x∈（0，+∞）恒成立，

令g（x）=
，则g′（x）=﹣
，

x∈（0，1），g′（x）＞0，函数单调递增，x∈（1，+∞），g′（x）＜0，函数单调递减，

∴g（x）max=g（1）=1， ∴m≥1；

（2）证明：由（1）知lnx≤x﹣1对?x∈（0，+∞）恒成立，当且仅当x=1时取等号，

∴ln（1+
）＜
，∴kln（1+k）﹣klnk＜1，

∴（1+k）ln（1+k）﹣klnk＜1+ln（1+k），∴2ln2﹣ln1＜1+ln2，

3ln3﹣2ln2＜1+ln3，… （1+n）ln（1+n）﹣nlnn＜1+ln（1+n），

累加得（1+n）ln（1+n）＜n+（ln2+ln3+…+lnn）+ln（1+n） ∴nln（1+n）＜n+ln（n!），

∴ln（1+n）＜1+
ln（n!）， ∴ln（1+n）﹣ln
＜1，