宁波二中2016届高三第一次月考数学(理)试题（2015.9）

第Ⅰ卷（选择题 共40分）

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知
是虚数单位，则
（ ▲ ）

A．
B．
C．
D．

2．已知函数
是偶函数，且
，则
（ ▲ ）

A．
B．
C．
D．

3．设
，则“
”是“
”的（ ▲ ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

4．为了得到函数
的图象，只需将函数
的图象（ ▲ ）

A．向右平移
个单位 B．向右平移
个单位

C．向左平移
个单位 D．向左平移
个单位

5．设实数
满足不等式组
，且
的最大值为
，则实数
（ ▲ ）

A．
B.
C.
D.

6．设
是双曲线
的右焦点，
是双曲线实轴的左端点，过
作双曲线渐近线的垂线，垂足为
，若
的斜率为
，则双曲线的离心率为（ ▲ ）

A．
B.
C.
D.

7．已知函数
在
上的最大值为
，则
的最小值是

（ ▲ ）

A．
B．
C．
D．

8．若等差数列
满足
,则
的取值范围是（ ▲ ）

A．
B．
C．
D．

第Ⅱ卷（非选择题 共110分）

二、 填空题: 本大题共7小题,前4题每空3分，后3题每空4分, 共36分．

9．已知集合
，
，则
▲ ；

▲ ．

10．设
,则
的减区间为　 ▲ 　；
在
处的切线方程

为 ▲ .

11.与圆
外切于点
，且半径为
的圆
方程为 ▲ ；

若圆
上恰有两个点到直线
的距离为
，则实数
的取值范围是

▲ ．

12．在锐角
中，
,则
▲ ；边长
的取值范围为

▲

13．已知
，且
，则
的最小值为 ▲ ．

14．平面向量
满足
，则
的最小值为 ▲ ．

15．已知
为偶函数，且
在
单调递增，若

在
上恒成立，则实数
的取值范围是 ▲ ．

三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

16．（本题满分15分）

在
中，角
所对的边分别为
,
．

（Ⅰ）若
, 求角
的大小；

（Ⅱ）若
的面积为
，
, 求
的周长．

17．（本题满分15分）

已知
为实数，

（Ⅰ）若
，求
在
上的最值；

（Ⅱ）若
在
和
都是递增的，求
的取值范围.

18．（本题满分15分）

设
,函数
．

（Ⅰ）若
，求
的取值范围；

（Ⅱ）求
在
上的最小值．

19．（本题满分15分）

已知
为坐标原点，椭圆
的左、右焦点分别为
，点
为直线

上且不在
轴上的任意一点．

（Ⅰ）求
周长的最小值；

（Ⅱ）设直线
和
的斜率分别为
，直线
和
与椭圆的交点分别为
和
．

ⅰ）证明：
；

ⅱ）当直线
的斜率之和为
时，求直线
上点
的坐标．

20．（本题满分14分）

正项数列
满足
，
．

（Ⅰ）求
的值；

（Ⅱ）证明：对任意的
，
；

（Ⅲ）记数列
的前
项和为
，证明：对任意的
，
．

参考答案

一、选择题：本题考查基本知识和基本运算．每小题5分，满分40分．

（1） A （2） D （3） A （4） D

（5） C （6） A （7） B （8） C

二、填空题: 本题考查基本知识和基本运算．前4题每空3分，后3题每空4分, 共36分．

（9）
，
（10）
，

（11）
,
（12）2,

（13）
（14）
（15）

三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

16．（1）
；…………………7分 （2）
…………………15分

17．(1)
,
…………2分

由
,则
. …………4分

易得
最大值为
,最小值为
…………8分

(2) 由条件
两零点在
内, ………10分

又图像为开口向上且过
的抛物线, 则

故
6 ………15分

18．（Ⅰ）
…………5分

（Ⅱ）
…………15分

19．（Ⅰ）令
关于
的对称点为
则

…………5分

（Ⅱ）ⅰ）令

，

…………9分

ⅱ）设
令

由
得
，

，

同样可算得
，

由
，得
，整理得
，

或
，又因为

（舍）或

或
…………15分

20．（Ⅰ）由
及
，所以
…………3分

（Ⅱ）由