2015学年第一学期十校联合体高三期初联考

理科数学试卷

本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，考试时间120分钟。 试卷总分为150分。请考生将所有试题的答案涂、写在答题纸上。

参考公式:

球的表面积公式
球的体积公式

锥体的体积公式
其中
表示锥体的底面积，
表示锥体的高来源

柱体的体积公式 V=Sh 其中
表示柱体的底面积，
表示柱的高

台体的体积公式

其中
分别表示台体的上、下底面积，
表示台体的高

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的。

第Ⅰ卷

1．已知集合
或
，
，
，则集合
等于（▲）

Ａ．
Ｂ．

Ｃ．
　　　 Ｄ．

２．一个几何体的正视图和侧视图都是面积为１的正方形，则这个几何体的俯视图

一定不是（▲）

Ａ 　　　　　　　Ｂ　　　　　 Ｃ 　　　　　　 Ｄ

3．设实数列
和
分别是等差数列与等比数列，且
，
，则以下结论正确的是（▲）

Ａ．
Ｂ．
Ｃ．
Ｄ．

4．“直线
与圆
相交”是“
”的（▲）

Ａ．充分不必要条件 Ｂ．必要不充分条件

Ｃ．充要条件 Ｄ．既不充分也不必要条件

5．已知点
，抛物线
的焦点为F，射线FA与抛物线C相交于点M，与其准线相交于点N，若
，则
的值等于（▲）

Ａ．
Ｂ．
Ｃ．2 Ｄ．4

6．设集合
，若Z是
的子集，把Z中的所有数的和称为Z的“容量”（规定空集的容量为0）．若Z的容量为奇（偶）数，则称Z为
的奇（偶）子集．

命题①：
的奇子集与偶子集个数相等；

命题②：当
时，
的所有奇子集的容量之和与所有偶子集的容量之和相等

则下列说法正确的是（▲）

Ａ．命题①和命题②都成立 Ｂ．命题①和命题②都不成立

Ｃ．命题①成立，命题②不成立 Ｄ．命题①不成立，命题②成立

7．定义区间
的长度为

，函数
的定义域与值域都是
，则区间
取最大长度时实数
的值为（▲）

Ａ．
Ｂ．-3 Ｃ．1 Ｄ．3

8．如图，点E为正方形ABCD边CD上异于点C，D的动点，将△ADE沿AE翻折成△SAE，使得平面SAE⊥平面ABCE，则下列三个说法中正确的个数是（▲）

①存在点E使得直线SA⊥平面SBC

②平面SBC内存在直线与SA平行

③平面ABCE内存在直线与平面SAE平行

Ａ．0 Ｂ．1 Ｃ．2 Ｄ．3

第Ⅱ卷

二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分。

9．已知
则x= ▲ ；已知函数
，若
，则
▲ ；

10．设函数
则
▲ ；

若
，则
的值为 ▲

11．若函数
，则函数
的最小正周期为 ▲ ；

函数
在区间
上的最小值是 ▲

12．如图，
是双曲线的左、右焦点，过
的直线
与双曲

线的左右两支分别交于点B、A两点，若
为等边三角形，

则该双曲线的离心率为 ▲

13．如图，四边形ABCD和ADPQ均为正方形，它们所在的平面

互相垂直，动点M在线段PQ上，E，F分别为AB，BC的中点，

设异面直线EM与AF所成的角为
，则
的最大值为 ▲

14．若直线
与不等式组
表示的平面区域无公共点，则
的取值范围是 ▲

15．已知△ABC中，AB=2，AC=1，当
时，
恒成立，则△ABC的面积为 ▲ ，在前述条件下，对于△ABC内一点P，
的最小值是 ▲

三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

16．（本小题满分14分）

设△ABC的内角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，且
成等差数列

（1）求角A的值；

（2）若
，求△ABC的面积

17．（本小题满分15分）

如图（1）所示，直角梯形
中，
，
，
，
．过
作
于
，
是线段
上的一个动点．将
沿
向上折起，使平面
平面
．连结
，
，
（如图（2））．

（Ⅰ）取线段
的中点
，问：是否存在点
，使得
平面
？若存在，求出
的长；不存在，说明理由；

（Ⅱ）当
时，求平面
和平面
所成的锐二面角的余弦值．

18．（本小题满分15分）

已知二次函数
满足条件：

①当
时，
，且
；

②当
时，
；

③
在R上的最小值为0

（1）求
的解析式；

（2）求最大的m(m>1)，使得存在
，只要
，就有

19．（本小题满分15分）

已知A、B是椭圆
的左、右顶点，
，过椭圆C的右焦点F的直线交椭圆于点M，N，交直线x=4于点P，且直线PA，PF，PB的斜率成等差数列，R和Q是椭圆上的两动点，R和Q的横坐标之和为2，RQ（不垂直X轴）的中垂线交X轴与于T点

（1）求椭圆C的方程；

（2）求△MNT的面积的最大值

20．（本小题满分15分）

在数列
中，
，
为
的前n项和，

且

（1）比较
与
大小；

（2）令
，数列
的前n项和为
，求证：

数学（理科）试题参考答案

一、选择题：本题考察基本知识和基本运算。每小题5分，满分40分。

1.C 2.B 3. A 4.B 5.C 6.A 7.D 8.B

二、填空题：本题考查基本知识和基本运算。多空题每题6分，单空题每题4分，满分36分）

9.
10.
11.
，

三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

16、解析：（Ⅰ）由已知2×＝＋，

＝＝＝，

cosA＝，A＝60°．（7分）

（Ⅱ）a2＝10＝b2＋c2－2bccosA＝(b＋c)2－3bc＝52－3bc，

bc＝5，

S△ABC＝bcsinA＝．（14分）

17、解：（Ⅰ）存在．当
为
的中点时，满足
平面
．………1分

取
的中点
，连结
，
．

由
为
的中点，得
，且
，……2分

又
，且
，

所以
，
，

所以四边形
为平行四边形，……………………4分

故
．……………………………………………5分

又
平面
，
平面
，

所以
平面
． ………………………………6分

从而存在点
，使得
平面
，此时
．……………… 7分

（Ⅱ）由平面
平面
，交线为
，且
，

所以
平面
，又
，………………………………8分

以E为原点，分别以
为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间

直角坐标系（如图），则
，
，
，
，

．…………………………………………………………10分

，
．…………………………………11分

平面
的一个法向量为