曲周县第一中学2015-2016学年高三第二次摸底考试

理科数学试卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的

1．已知集合A={（x，y）|y=3x}，B={（x，y）|y=2﹣x}，则A∩B=( )

A．{0} B．{1} C．{（0，1）} D．{（1，0）}

2．已知复数Z=
=( )

A.2+i B.2-i C.-l-2i D.-1+2i

3．函数f（x）=（x+1）|log2x|﹣1的零点个数为

A． 1 B． 2 C． 3 D． 4

4．下列说法中，不正确的是( )

A．已知
，命题“若
，则a

B．命题“
”的否定是：“
”；

C．命题“p且q”为真命题，则命题p和q命题均为真命题；

D．“x>3”是“x>2”的充分不必要条件．

5．现有四个函数：①
;②
;③
; ④
的图象

(部分)如下，但顺序被打乱，则按照从左到右将图象对应的函数序号安排正确的一组是( )

A．④①②③ B．①④③② C．①④②③ D．③④②①

6．已知数列{an}的前n项和为Sn，过点P(n，Sn)和Q(n＋1，Sn＋1)(n∈N*)的直线的斜率为3n－2，则a2＋a4＋a5＋a9的值等于

A．52 B．40 C．26 D．20

执行如图所示的程序框图，若输出的k值为5，

则输入的整数p的最大值为（）

A．7 B． 15

C．31 D． 63

8. 某几何体的三视图如图所示，若其正视图为等腰梯形，侧视图为正三角形，则该几何体的表面积为（ ）

A． 2
+2 B． 4
+2

C． 6 D 8

9．若函数f（x）=sin（ωx﹣
）（ω＞0）在区间（0，
）

上单调递增，则ω的取值范围是（）

A． （0，
] B． [1，
]

C． [1，2] D．（0，2]

10．已知椭圆C：
+
=1（a＞b＞0）的离心率为
，且与抛物线y2=x交于A、B两点，若△OAB（O为坐标原点）的面积为2
，则椭圆C的方程为（）

A．
+
=1 B．
+y2=1 C．
+
=1 D．
+
=1

11．已知各项都是正数的等比数列{an}中，存在两项am，an(m，n∈N*)使得＝4a1，且a7＝a6＋2a5，则＋的最小值是( )

A . B.  C.  D .

12．已知a、b∈R，当x＞0时，不等式ax+b≥lnx恒成立，则a+b的最小值为（）

A． ﹣1 B． 0 C．
D． 1

本卷包括必考题和选考题两部分，第13-21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22-24题为选考题，考生根据要求作答

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分

13．若变量x、y满足条件
，则z=2x﹣y的最小值为__________．

14．已知双曲线C1：
﹣
=1（a＞0，b＞0）与C2：
﹣
=1（a＞0，b＞0），给出下列四个结论：

①C1与C2的焦距相等；

②C1与C2的离心率相等；

③C1与C2的渐近线相同；

④C1的焦点到其渐近线的距离与C2的焦点到其渐近线的距离相等．

其中一定正确的结论是（填序号）___________．

15．已知D、E分别是△ABC边AB、AC上的点，且BD=2AD，AE=2EC，点P是线段DE上的任意一点，若
=x
+y
，则xy的最大值为__________．

16．已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱垂直于底面，M、N分别为棱BB1，B1C1的中点，由M，N，A三点确定的平面将该三棱柱分成体积不相等的两部分，则较小部分与较大部分的体积之比为_________．

三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤

17．如图，在△ABC中，D为AB边上一点，DA=DC，已知
， BC=1．

（Ⅰ）若△ABC是锐角三角形，
，求角A的大小；

（Ⅱ）若△BCD的面积为
，求边AB的长．

18． 已知某种集成电路E由3个不同的电子元件组成，现由于元件老化，三个电子元件能正常工作的概率分别降为
，且每个电子元件能否正常工作相互独立．若三个电子元件中至少有2个正常工作，则E能正常工作，否则就需要维修，且维修集成电路E所需费用为100元．

(I)求集成电路E需要维修的概率；

(II)若某电子设备共由2个集成电路E组成，设X为该电子设备需要维修集成电路所需的费用，求X的分布列和期望．

19．如图1，已知四边形ABCD的对角线AC与BD互相垂直，∠A=60°，∠C=90°，CD=CB=2，将△ABD沿BD折起，得到三棱锥A′﹣BCD，如图2．

（1）若二面角A′﹣BD﹣C的余弦值为
，求证：A′C⊥平面BCD；

（2）当三棱锥A′﹣BCD的体积最大时，求直线A′D与平面A′BC所成角的正弦值．

20．已知动点P到定点F（1，0）的距离比到直线x+2=0的距离小1．

（1）求动点P的轨迹E的方程；

（2）若曲线E上存在A、B两点关于直线l：2x+4y﹣9=0对称，且线段AB的延长线与直线x+1=0相交于点C，求：

（i）直线AB的方程；

（ii）△FAB与△FCB的面积之比．

21．已知函数f（x）=xlnx﹣
x2（a∈R）．

（1）若a=2，求曲线y=f（x）在点[1，f（1）]处的切线方程；

（2）若函数g（x）=f（x）﹣x有两个极值点x1、x2，求证：
+
＞2ae．

请考生在22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号.【选修4-1：几何证明选讲】

22．如图，P为圆外一点，PD为圆的切线，切点为D，AB为圆的一条直径，过点P作AB的垂线交圆于C、E两点（C、D两点在AB的同侧），垂足为F，连接AD交PE于点G．

（1）证明：PC=PD；

（2）若AC=BD，求证：线段AB与DE互相平分．

【选修4-4：坐标系与参数方程选讲】

23．（已知曲线C1的参数方程是
（θ为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程是ρ=﹣4cosθ．

（1）求曲线C1与C2交点的极坐标；

（2）A、B两点分别在曲线C1与C2上，当|AB|最大时，求△OAB的面积（O为坐标原点）．

【选修4-5：不等式选讲】

24．设函数f（x）=|2x+1|+|x﹣a|（a∈R）．

（1）当a=2时，求不等式f（x）≤4；

（2）当a＜﹣
时，若存在x≤﹣
使得f（x）+x≤3成立，求a的取值范围．

参考答案与试题解析

数学一模试卷（理科）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的

1．（5分）已知集合A={（x，y）|y=3x}，B={（x，y）|y=2﹣x}，则A∩B=（）

A． {0} B． {1} C． {（0，1）} D． {（1，0）}

考点： 交集及其运算．

专题： 集合．

分析： 直接作出两个集合中函数的图象得答案．

解答： 解：作出函数y=3x与y=2﹣x的图象如图，

由图可知，A∩B={（0，1）}．

故选：C．

点评： 本题考查了交集及其运算，考查了数形结合的解题思想方法，是基础题．

2．（5分）选：C．

点评： 本题考查复数的乘除运算和几何意义，属基础题．

3．（5分）函数f（x）=（x+1）|log2x|﹣1的零点个数为（）

A． 1 B． 2 C． 3 D． 4

考点： 根的存在性及根的个数判断．

专题： 函数的性质及应用．

分析： 由f（x）=0，得|log2x|=
，然后在坐标系中分别作出函数y=log2x，y=
的图象，利用图象观察函数零点的个数．

解答： 解：∵函数的定义域为{x|x＞0}，

∴由f（x）=0，得log2x=
，

在坐标系中分别作出函数y=log2x，y=
的图象如图：

由图象可知两个函数只有2个交点，

∴函数f（x）=（x+1）|log2x|﹣1的零点个数为2个．

故选：B．

点评： 本题主要考查函数零点的个数判断，利用数形结合的思想是解决本题的关键．

4．（5分）选 B

5．（5分）选：C．

6．（5分[由题意得，＝3n－2，∴Sn＋1－Sn＝3n－2，即an＋1＝3n－2，∴an＝3n－5，因此数列{an}是等差数列，a5＝10，而a2＋a4＋a5＋a9＝2(a3＋a7)＝4a5＝40，

故选：B．

点评： 本题考查等比数列的通项公式的灵活应用，以及整体代换思想，属于基础题．

7．（5分）执行如图所示的程序框图，若输出的k值为5，则输入的整数p的最大值为（）

A． 7 B． 15 C． 31 D． 63

考点： 程序框图．

专题： 图表型；算法和程序框图．

分析： 分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算变量S的值，并输出满足退出循环条件时的k值，模拟程序的运行，用表格对程序运行过程中各变量的值进行分析，不难得到输出结果．

解答： 解：程序在运行过程中各变量的值如下表示：

是否继续循环 S k

循环前/0 0

第一圈 是 1 1

第二圈 是 3 2

第三圈 是 7 3

第四圈 是 15 4

第五圈 是 31 5

第六圈 否

故S=15时，满足条件S＜p

S=31时，不满足条件S＜p

故输入的整数p的最大值为31

故选：C．

点评： 根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：①分析流程图（或伪代码），从流程图（或伪代码）中即要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理）?②建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型③解模．

8．（5分）某几何体的三视图如图所示，若其正视图为等腰梯形，侧视图为正三角形，则该几何体的表面积为（）

A． 2
+2 B． 4
+2 C． 6 D． 8

考点： 由三视图求面积、体积．

专题： 空间位置关系与距离．

分析： 由三视图得该几何体是五面体，再由三视图求出五面体中有关集合元素的长度，代入梯形、等腰直角三角形的面积公式，再相加求出五面体的表面积．

解答： 解：由三视图得，该几何体是五面体，

如图所示，底面是矩形ABCD，AB=2，AD=1，EF平行底面，EF=1，

过点E作EM⊥AB，垂足为M，则AM=
，则EM=1．

即DE=AE=
=
，

∴S梯形ABFE=S梯形CDEF=
×（1+2）×1=
，

S△ADE=S△BCF=

=
，S矩形ABCD=2×1=2，

∴该几何体表面积=2+2×
+2×
=6．

故选：C．

点评： 本题考查五面体的三视图，梯形、等腰直角三角形的面积计算公式，解题的关键是由三视图正确还原几何体，并求出几何体中几何元素的长度，考查了空间想象能力．

9．（5分）若函数f（x）=sin（ωx﹣
）（ω＞0）在区间（0，
）上单调递增，则ω的取值范围是（）

A． （0，
] B． [1，
] C． [1，2] D． （0，2]

考点： 正弦函数的单调性．

专题： 三角函数的图像与性质．

分析： 由正弦函数的增区间求出三角函数f（x）=sin（ωx﹣
）（ω＞0）的增区间，取k=0得一个增区间为
，由
求得ω的取值范围．

解答： 解：由
ωx﹣

，

得
，

取k=0，得
，

∵函数f（x）=sin（ωx﹣
）（ω＞0）在区间（0，
）上单调递增，

∴
，即ω≤
．

又ω＞0，

∴ω的取值范围是（0，
]．

故选：A．

点评： 本题给出函数y=Asin（ωx+φ）的一个单调区间，求ω的取值范围，着重考查了正弦函数的单调性和三角函数的图象变换等知识，属于基础题．

10．（5分）已知椭圆C：
+
=1（a＞b＞0）的离心率为
，且与抛物线y2=x交于A、B两点，若△OAB（O为坐标原点）的面积为2
，则椭圆C的方程为（）

A．
+
=1 B．
+y2=1 C．
+
=1 D．
+
=1

考点： 椭圆的标准方程．

专题： 圆锥曲线的定义、性质与方程．

分析： 由已知得
，由此能求出椭圆C的方程．

解答： 解：∵椭圆C：
+
=1（a＞b＞0）与抛物线y2=x交于A、B两点，

△OAB（O为坐标原点）的面积为2
，

∴设A（x，
），B（x，﹣
），
，解得x=2，

由已知得
，解得a=2
，b=2，

∴椭圆C的方程为
+
=1．

故选：A．

点评： 本题考查椭圆方程的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意椭圆的简单性质的合理运用．

11．（5分）[记等比数列{an}的公比为q(q＞0)，依题意有a5q2＝a5q＋2a5，由a5≠0，得q2－q－2＝0，解得q＝2，

又(a1·2m－1)·(a1·2n－1)＝16a，

即2m＋n－2＝24，∴m＋n－2＝4，∴m＋n＝6，

∴＋＝（＋）(m＋n)＝[5＋（＋）]≥

(5＋4)＝.] 故选A

12．（5分）已知a、b∈R，当x＞0时，不等式ax+b≥lnx恒成立，则a+b的最小值为（）

A． ﹣1 B． 0 C．
D． 1

考点： 函数恒成立问题；基本不等式．

专题： 计算题；函数的性质及应用；导数的综合应用．

分析： 令y=lnx﹣ax﹣b，求出导数，当a≤0时，y′＞0，函数递增，无最值．当a＞0时，求得单调区间，和极值及最值，进而得到a+b的不等式，再令f（a）=a﹣1﹣lna，通过导数求出单调区间和极值、最值，进而得到a+b的最小值．

解答： 解：令y=lnx﹣ax﹣b，

则y
=
（x＞0），

当a≤0时，y′＞0，函数递增，无最值．

当a＞0时，0＜x＜
时，y′＞0，函数递增；当x＞
时，y′＜0，函数递减．

则x=
处取得极大值，也为最大值，且为﹣lna﹣1﹣b．

当x＞0时，不等式ax+b≥lnx恒成立，

即有﹣lna﹣1﹣b≤0，

即b≥﹣1﹣lna，

a+b≥a﹣1﹣lna，

令f（a）=a﹣1﹣lna，f′（a）=1﹣
=
，

当a＞1时，f′（a）＞0，f（a）递增；当0＜a＜1时，f′（a）＜0，f（a）递减．

则a=1处f（a）取得极小值，也为最小值，且为0．

即有a+b≥0．

即有a+b的最小值为0．

故选：B．

点评： 本题考查不等式的恒成立问题注意转化为求函数的最值问题，运用导数判断单调性，求极值和最值是解题的关键，属于中档题．

本卷包括必考题和选考题两部分，第13-21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22-24题为选考题，考生根据要求作答二、填空题：本大题共4小题，每小题5分

13．（5分）若变量x、y满足条件
，则z=2x﹣y的最小值为﹣2．

考点： 简单线性规划．

专题： 不等式的解法及应用．

分析： 由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，由最优解可得z=2x﹣y的最小值．

解答： 解：由约束条件
作出可行域如图，

化z=2x﹣y为y=2x﹣z，

由图可知，当直线y=2x﹣z与y=2x+2重合时，直线y=2x﹣z在y轴上的截距最大，z有最小值，最小值为﹣2．

故答案为：﹣2．

点评： 本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．

14．（5分）已知双曲线C1：
﹣
=1（a＞0，b＞0）与C2：
﹣
=1（a＞0，b＞0），给出下列四个结论：

①C1与C2的焦距相等；

②C1与C2的离心率相等；

③C1与C2的渐近线相同；

④C1的焦点到其渐近线的距离与C2的焦点到其渐近线的距离相等．

其中一定正确的结论是①③（填序号）．

考点： 双曲线的简单性质．

专题： 综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．

分析： 对四个选项分别进行判断，即可得出结论．

解答： 解：C1与C2的c都等于
，∴①C1与C2的焦距相等；

双曲线C1离心率为
，双曲线C2离心率为
，∴②C1与C2的离心率不一定相等；

③双曲线C1与C2的渐近线都为y=±
x，即C1与C2的渐近线相同；

④C1的焦点（c，0）到其渐近线的距离
=b，C2的焦点（0，c）到其渐近线的距离
=a，故C1的焦点到其渐近线的距离与C2的焦点到其渐近线的距离不一定相等．

故答案为：①③．

点评： 本题考查双曲线的性质，考查学生的计算能力，比较基础．

15．（5分）已知D、E分别是△ABC边AB、AC上的点，且BD=2AD，AE=2EC，点P是线段DE上的任意一点，若
=x
+y
，则xy的最大值为
．

考点： 平面向量的基本定理及其意义．

专题： 平面向量及应用．

分析： BD=2AD，AE=2EC，点P是线段DE上的任意一点，
=x
+y
，可得
=3x
+
，利用向量共线定理可得
=1，再利用基本不等式的性质即可得出．

解答： 解：如图所示，

∵BD=2AD，AE=2EC，点P是线段DE上的任意一点，
=x
+y
，

∴
=3x
+
，

∴
=1，

∴2x+y=
．

∵x，y＞0，

∵
，

，当且仅当y=2x=
时取等号．

则xy的最大值为
．

故答案为：
．

点评： 本题考查了向量共线定理、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

16．（5分）已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱垂直于底面，M、N分别为棱BB1，B1C1的中点，由M，N，A三点确定的平面将该三棱柱分成体积不相等的两部分，则较小部分与较大部分的体积之比为
．

考点： 棱柱、棱锥、棱台的体积．

专题： 空间位置关系与距离．

分析： 延长MN与CC1的交点为P，与CB的交点为Q，连结AP交A1C1为D，连结DN，得到截面为DNMA，由题意得A1D=2DC1，由此能求出较小部分与较大部分的体积之比．

解答： 解：延长MN与CC1的交点为P，与CB的交点为Q，

连结AP交A1C1为D，连结DN，

得到截面为DNMA，由题意得A1D=2DC1，

设三棱柱是直三棱柱，底面AB⊥BC，且设AB=BC=AA1=2，

∵QB=1，MB=1，NC=1，PC1=1，棱柱体积V=
=4，

∴下部分体积V下=VP﹣AQC﹣
﹣VM﹣AQB

=

=
，

上部分体积V上=V﹣V下=4﹣
=
，

∴较小部分与较大部分的体积之比为：

=
=
．

故答案为：
．

点评： 本题考查几何体中两部分体积之比的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．

三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤

．

18.解：（Ⅰ）三个电子元件能正常工作分别记为事件
，则
.

依题意，集成电路E需要维修有两种情形：

①3个元件都不能正常工作，概率为

； …………2分

②3个元件中的2个不能正常工作，概率为

……………5分

所以,集成电路E需要维修的概率为
． ……………6分

（Ⅱ）设
为维修集成电路的个数，则
，而
，

…………9分

的分布列为：

0

100

200















………………10分

或
. …………12分

19．（12分）如图1，已知四边形ABCD的对角线AC与BD互相垂直，∠A=60°，∠C=90°，CD=CB=2，将△ABD沿BD折起，得到三棱锥A′﹣BCD，如图2．

（1）若二面角A′﹣BD﹣C的余弦值为
，求证：A′C⊥平面BCD；

（2）当三棱锥A′﹣BCD的体积最大时，求直线A′D与平面A′BC所成角的正弦值．

考点： 棱柱、棱锥、棱台的体积；二面角的平面角及求法．

专题： 空间位置关系与距离；空间角．

分析： （1）设AC，BD交于点O，CO=BO=DO=
，AB=AD=2
，AO=
，将△ABD沿BD折起，A′O⊥BD，CO⊥BD，
，CO=
，∠A′OC是二面角A′﹣BD﹣C的平面角，设A′C=x，
，解得A′C=2，