2015—2016学年第一学期高三月考

数学试卷

（考试时间：120分钟；分值：150分）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．在复平面内，复数i?（1﹣i）对应的点位于（　　）

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

2．复数
的虚部是（　　）

A. i B. ﹣i C. 1 D. ﹣1

3．集合M＝{x|lgx>0}，N＝{x|x2≤4}，则M∩N＝(　　)

A. (1,2) B. [1,2) C. (1,2] D. [1,2]

4．函数
的定义域为（　　）

A. （2，3） B. （2，4] C. （﹣1，3）∪（3，6] D. （2，3）∪（3，4]

5.命题“若
，则一元二次方程
有实根”的原命题与其逆命题、否命题、逆否命题中真命题的个数是（ ）

A. 0 B. 2 C. 4 D. 不确定

6．若函数f（x）=ax2+b|x|+c（a≠0）有四个单调区间，则实数a，b，c满足（　　）

A. b2﹣4ac＞0，a＞0 B. b2﹣4ac＞0 C.
＞0 D.
＜0

7.函数
的值域为(　　)

A. (－∞，] B. [，1] C. [，1) D. [，＋∞)

8.若
，则
的表达式为（ ）

A.
B.
C.
D.

9．已知y=f（x）是定义在R上的奇函数，则下列函数中为奇函数的是（　　）

①y=f（|x|）；②y=f（﹣x）；③y=xf（x）；④y=f（x）+x．

A. ①③ B. ②③ C. ①④ D. ②④

10．若函数f（x）的导函数
=x2﹣4x+3，则使得函数
单调递减的一个充分不必要条件是x∈（　　）

A. [0，1] B. [2，3] C. [2，4] D. [3，5]

11.设
，函数
的导函数是
，且
是奇函数。若曲线
的一条切线的斜率是
，则切点的横坐标为（ ）

A.
B．
C．
D．

12．已知函数f(x)＝
－1的定义域是[a, b](a, b∈Z)，值域是[0, 1]，则满足条件的整数对(a, b)共有（ ）

A．2个 B．5个 C．6个 D．无数个

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填写在答题纸相应的位置上。

13.已知命题
:
，则
是____________________．

14．已知函数
的导函数
，
，且
，

，则实数x取值的集合是　 ．

15．已知函数
为R上的奇函数，当x≥0时，
．若
=﹣2，则实数a=　 　．

16.已知函数
在
上不单调，则实数t的取值范围是　 　．

三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17．（10分）已知命题P：函数
在定义域上单调递增；命题Q：不等式
对任意实数x恒成立．若
是真命题，
是假命题，求实数a的取值范围．

18．（12分）已知集合A={x|（x﹣2）[x﹣（3a+1）]＜0}，集合B=
．

（Ⅰ）当a=2时，求A∩B；

（Ⅱ）当
时，若元素x∈A是x∈B的必要条件，求实数a的取值范围．

19．（12分）设函数
（Ⅰ）若
=1，解不等式
≤4；

（Ⅱ）若函数
有最小值，求
的取值范围．

20．（12分）已知曲线C的极坐标方程为
，以极点为坐标原点，极轴为x轴正半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为
（t为参数）．

（Ⅰ）把曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，把直线l的参数方程化为普通方程；

（Ⅱ）求直线l被曲线C截得的线段AB的长．

21．（12分）已知函数
（a＞0）为奇函数，函数
（b∈R）

（Ⅰ）求函数f（x）的定义域；

（Ⅱ）当x∈
时，关于x的不等式
有解，求b的取值范围．

22．（12分）已知函数
，
．

（Ⅰ）若函数
在定义域上是增函数，求a的取值范围；（Ⅱ）求g（x）的最大值．

数学（理）答案

一、选择题

1—12 ACCDB CCDDB AB

二、填空题

13.
14.（1，
） 15. ﹣1 16. （0，1）

三、解答题

17. 解：∵命题P函数y=loga（1﹣2x）在定义域上单调递增；∴0＜a＜1 ………3分

又∵命题Q不等式（a﹣2）x2+2（a﹣2）x﹣4＜0对任意实数x恒成立；∴a=2

或
，即﹣2＜a≤2 ………7分

∵
是真命题，
是假命题，∴a的取值范围是
. ………10分

18. 解：（1）当a=2时，可得集合A={x|（x﹣2）（x﹣7）＜0}={x|2＜x＜7}，

集合 B={x|
}={x|4＜x＜5}，∴A∩B={x|4＜x＜5} ………5分

（2）∵a2+1﹣2a=（a﹣1）2≥0，∴a2+1≥2a ∴B={x|2a＜x＜a2+1}

当a＞
时，3a+1＞2∴A={x|2＜x＜3a+1}

∵元素x∈A是x∈B的必要条件，即B是A的真子集 ∴2a≥2 且 a2+1≤3a+1

∴1≤a≤3，经验证当a=1，3时，均符合要求．故实数a的取值范围为：1≤a≤3．…12分

19. 解：（Ⅰ）当a=1时，f（x）=|3x﹣1|+x+3，

当x
时，f（x）≤4可化为3x﹣1+x+3≤4，解得
；

当x
时，f（x）≤4可化为﹣3x+1+x+3≤4，解得
．

综上可得，原不等式的解集为{x|
} ………6分

（Ⅱ）f（x）=|3x﹣1|+ax+3=

函数f（x）有最小值的充要条件为
，即﹣3≤a≤3．………12分

20. 解：（ I） 由
得ρ2sin2θ=4ρcosθ，∴y2=4x；

由
（t为参数），消去参数t，得x+y﹣1=0；

曲线C的直角坐标方程为y2=4x；直线l的普通方程x+y﹣1=0；………6分

（ II） 设直线l交曲线C于A（x1，y1），B（x2，y2），

联立
，消去y得，x2﹣6x+1=0，

∴x1+x2=6，x1x2=1；

，

∴直线l被曲线C截得的线段AB的长为8．………12分

21. 解：（1）∵a＞0，∴解
得，
；

∵f（x）为奇函数；∴定义域关于原点对称，所以a=1；

∴f（x）的定义域为（﹣1，1）；………5分

（2）f（x）=lg
，f（1﹣x）=
；∴
；

∴
；∴
，………7分

设h（x）=
；∴
；∵
；∴h′（x）＞0；

∴h（x）在[
]上单调递增；∴
是h（x）在[
]上的最小值；

∴b≥﹣13；∴b的取值范围为[﹣13，+∞）．………12分

22. 解：（Ⅰ）由题意得x＞0，f′（x）=1﹣
+
，

由函数f（x）在定义域上是增函数得， f′（x）≥0，即a≥2x﹣x2=﹣（x﹣1）2+1（x＞0）；

因为﹣（x﹣1）2+1≤1（当x=1时，取等号），所以a的取值范围是[1，+∞）．………6分

（Ⅱ）g′（x）=ex（
﹣1+2lnx﹣x），由（Ⅰ）得a=2时，f（x）=x﹣2lnx﹣
+1，

且f（x）在定义域上是增函数及f（1）=0，所以，当x∈（0，1）时，f（x）＜0，

当x∈（1，+∞）时，f（x）＞0．所以，当x∈（0，1）时，g′（x）＞0，

当x∈（1，+∞）时，g′（x）＜0．

g（x）在（0，1）上是增函数，在（1，+∞）上是减函数，

故x=1时，g（x）取得最大值g（1）=﹣e．………12分

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