江西省南昌市2016届高三上学期摸底测试

数学（理）试题

本试卷分第I卷（选择题）和第B卷（非选择题）两部分，第I卷1至2页，第II卷3至4页，

共150分．

考生注意：

I.答题前，考生务必将白己的准考证号、姓名填写在答题卡上，考生要认真核对答题卡上

粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致．

2.第I卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，

用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．第II卷用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上

作答．若在试题卷上作答，答案无效．

3．考试结束，监考员将试题卷、答题卡一并收回．

第I卷

一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的．）

1·己知
，则A∩B＝

2.下列函数中，在
上单调递减，并且是偶函数的是

3.已知
为等差数列，其前n项和为Sn，若a3＝6，S3＝12，则公差d等于

4.已知i为虚数单位，则复数

A ．1＋2i 　B．1一2i　 C．一1一2i 　D.一1＋2i

5.在样本频率分布直方图中，共有9个小长方形．若中间一个小长方形的面积等于其它8个长

方形面积和的
，且样本容量为140，则中间一组的频数为

A、28 　B. 40 　　C．56 　　D. 60

6. 在△ABC中，sin A＝
＝8，则△ABC的面积为

7．设m，n是平面
内两条不同直线，1是平面
外的一条直线，则
的

A.充分不必要条件　B.必要不充分要条件

C.充要条件　　　D.既不充分也不必要条件

8.
的展开式中的常数项为

A.12 　　　B. －12　　　 C.6 　　　　D. －6

9.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是

A ．112 　　B．80 C ．72 　　　D．64

10.己知抛物线y2＝2px(p＞0)与双曲线
(a＞0, b＞0)有相同的焦点F，点A是两曲线的一

个交点，且AF⊥x轴，则双曲线的离心率为

11．己知矩形ABCD的顶点都在半径为5的球O的球面上，且AB＝6, BC＝2
，则棱锥

O一ABCD的侧面积为

12.设函数y＝f (x), x
R的导函数为f '(x)，且f(x)＝f (－x)，f '(x)＜f (x)，则下列不等式

成立的是(e为自然对数的底数）

第II卷

注意事项：

第II卷共2页，须用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，若在试题上作答，答案无效．

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．

13．设θ为第二象限角，若
，则cosθ＝　＿

14.若函数
在区间［－1,1］上至少有一个零点，则实数a的取值范围是＿　．

15.在边长为2的正方形ABCD中有一个不规则的图形M，用随机模拟方法来估计不规则图形

的而积．若在正方形ABCD中随机产生了10000个点，落在不规则图形M内的点数恰有2000

个，则在这次模拟中，不规则图形M的面积的估计值为＿　　．

16.己知等比数列
的前n项和为Sn，且

三、解答题：本大题共6个题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17、（本小题满分12分）某购物网站为了解顾客对某商品的满意度，随机调查50名顾客对该商品

的评价，具体数据如下

已知这50位顾客中评分小于4分的顾客占80％．

（I）求x与y的值；

（11）若将频率视为概率，现从对该商品作出了评价的顾客中，随机抽取一位，记该顾客的评

分为X，求随叽变量X的分布列一与数学期望．

18、（本小题满分12分）在锐角△ABC中，
．

（I）求角A的大小；

（II）求cos2B＋4 cos A sin B的取值范围．

19.（本小题满分12分）

在三棱柱ABC一
中，侧面ABB1A1为矩形，AB＝1，
，D为AA1的中点，

BD与AB1交于点O，CO⊥侧面ABB1A1．

（I）证明：BC⊥AB1；

(II）若OC＝OA，求直线C1D与平面ABC所成角的正弦值．

20.（本小题满分12分）

己知抛物线
的焦点分别为
，点P(-1,-1)，且

（O为坐标原点）．

（I）求抛物线C2的方程；

(II)过点O的直线交C1的下半部分于点M，交C2的左半部分于点N，求△PMN面积的

最小值．

21．（本小题满分12分）

已知函数
，其中
．

（I）求函数f(x)的单调区间；

(II)当k＝1时，若存在x＞0，使In f (x)＞ax成立，求实数a的取值范围．

请考生在下列两题中任选一题作答．若两题都做，则按做的第一题评阅计分，本题共5分．

22．（平面几何选讲）（本小题满分10分）

已知AB为半圆O的直径，AB＝4，C为半圆上一点，过点C作半圆的切线CD，过A点作AD⊥CD于D，交半圆于点E，DE＝1．

（I）证明：AC平分∠BAD；

（II）求BC的长．

23．（坐标系与参数方程）（本小题满分10分）

已知曲线C的参数方程为
为参数），在同一平面直角坐标系中，将曲线C上的点按坐标变换
得到曲线
．

（I）求曲线
的普通方程；

(II)设点B (3, 0),当点A在曲线
上运动时，求AB中点P的轨迹方程．

24．（不等式选讲）（本小题满分10分）

函数
。．

（I）若a＝5，求函数f（x)的定义域A；

（II)设

高 三 摸 底 测 试 卷

数学(理科)参考答案及评分标准

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



答案

C

C

D

A

B

A

B

A

C

D

B

B



二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．

13．
14．
15．
16．

三、解答题：本大题共6个题，共70分．

17．解: （Ⅰ）依题意得，
，
，

解得
，
. ……………6分

（Ⅱ）
，
，
，

，
……………10分

所以
的分布列为

1

2

3

4

5





0.2

0.4

0.2

0.1

0.1




的数学期望为
.……………12分

18．解：（Ⅰ）由题意：

∴
即
……………3分

∵

∴

∴
即
……………6分

（Ⅱ）由（1）知：

∴
……………8分

∵
为锐角三角形．

∴

∴
又

∴
∴
……………………10分

∴
……………………………12分

19．解：(Ⅰ)证明：由题意

注意到
,所以
,

所以
,所以
,………………3分

又
侧面
，

又
与
交于点
，所以
,

又因为
,所以
.……………6分

(Ⅱ) 解：如图，分别以
所在的直线为
轴，

以
为原点，建立空间直角坐标系

则
，
，

，
，
，

又因为
，

所以
…………8分

所以
，
，

设平面
的法向量为
，

则根据
可得
是平面
的一个法向量,

设直线
与平面
所成角为
，则

………………12分

20．解：（Ⅰ）
，
，∴
………1分

，

………3分

∴
的方程为
． ………5分

（Ⅱ）联立
得
，联立
得
， ………7分

从而
，

点
到直线
的距离
，进而
………9分

令
，

有
， ………11分

当
，时
，

即当过原点直线为
时，△
面积取得最小值
．………12分

21．解（Ⅰ）定义域为R，
……………2分

当
时，
时，
；
时，

当
时，
时，
；
时，
……………4分

所以当
时,
的增区间是
，减区间是

当
时,
的减区间是
，增区间是
……………6分

（Ⅱ）
时，
，由
得：

设
，
， ……………8分

所以当
时，
；当
时，
，

所以
在
上递增， 在
上递减， ……………10分

所以
的取值范围是
……………12分

22．解：（I）连接
，因为
，所以

为半圆的切线
，

平分
…………………………5分

（Ⅱ）连接
，

由
知

所以
四点共圆

，

，

……………10分

23．解（Ⅰ）将
代入
，得
的参数方程为

∴曲线
的普通方程为
． ………5分

（Ⅱ）设
，
，又
，且
中点为

所以有：

又点
在曲线
上，

∴代入
的普通方程