曲周县第一中学2015-2016学年高三第二次摸底考试

数学文科试卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的

1．已知集合A={（x，y）|y=3x}，B={（x，y）|y=2﹣x}，则A∩B=( )

A．{0} B．{1} C．{（0，1）} D．{（1，0）}

2．已知复数Z=
=( )

A.2+i B.2-i C.-l-2i D.-1+2i

3．函数f（x）=|log2x|+x﹣2的零点个数为（ ）

A1 B．2 C．3 D． 4

4．已知数列{an}是等比数列，且a2+a6=3，a6+a10=12，则a8+a12=（ ）

A．12
B．24 C． 24
D． 48

5．若变量x、y满足条件
，则z=2x﹣y的取值范围是（ ）

A .[﹣2，4] B．（﹣2，4] C．[﹣2，4） D． （﹣2，4）

6．若△PAB是圆C：（x﹣2）2+（y﹣2）2=4的内接三角形，且PA=PB，∠APB=120°，则线段AB的中点的轨迹方程为（）

A．（x﹣2）2+（y﹣2）2=1 B．（x﹣2）2+（y﹣2）2=2

C．（x﹣2）2+（y﹣2）2=3 D． x2+y2=1

7．若θ∈[0，
]，sin2θ=
，则cosθ=（）

A．
B．
C．
D．

8．某几何体的三视图如图所示，若其正视图为等腰梯形，侧视图为正三角形，则该几何体的表面积为（）

A． 2
+2 B． 6 C．4
+2 D． 8

9．已知D、E分别是△ABC的边AB、AC上的点，且BD=2AD，AE=2EC，点P是线段DE上的任意一点，若
=x
+y
，则xy的最大值为（）

A．
B．
C．
D．

10．在多面体ABCDE中，AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，AC=AD=CD=DE=2AB，F为棱CE上异于点C、E的动点，则下列说法正确的有（ ）

①直线DE与平面ABF平行；

②当F为CE的中点时，BF⊥平面CDE；

③存在点F使得直线BF与AC平行；

④存在点F使得DF⊥BC．

A． 1个 B．2个 C．3个 D． 4个

11．已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，过F的直线l与抛物线C相交于A、B两点，则|OA|2+|OB|2（O为坐标原点）的最小值为（）

A． 4 B． 8 C． 10 D． 12

12．已知f（x）为奇函数，当x∈[0，1]时，f（x）=1﹣2|x﹣
|，当x∈（﹣∞，﹣1]，f（x）=1﹣e﹣1﹣x，若关于x的不等式f（x+m）＞f（x）有解，则实数m的取值范围为（ ）

A．（﹣1，0）∪（0，+∞） B．（﹣2，0）∪（0，+∞）

C .{﹣
，﹣ln2，﹣1}∪（0，+∞） D． {﹣
，﹣ln2，0}∪（0，+∞

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分

13．某商场根据甲、乙两种不同品牌的

洗衣粉在周一至周五每天的销量绘制成

如图所示的茎叶图，则销量的中位

数较大的品牌是．

14．执行如图所示的程序框图，

若输入p的值为31，则输出

的k的值为．

15．定义在区间（m﹣1，m+1）上的函数

f（x）=lnx﹣
x2在该区间上不是单调函数，

则实数m的取值范围是．

16．设数列{an}满足a1=5，且对任意整数n，总有（an+1+3）（an+3）=4an+4成立，则数列{an}的前2015项的和为．

三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤

17．△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且asinA﹣bsinB=（c﹣b）sinC．

（1）求A；

（2）若B=
，点M在边BC上，且BC=3CM，AM=2
，求△ABC的面积．

18．某次比赛结束后，a、b、c、d死命选手成功晋级四强，在接下来的比赛中，他们取得任何一个名次的机会均相等，且无并列名次，已知c、d两名选手已全部进入前3名，求：

（1）选手a取得第一名的概率；

（2）选手c的名次排在选手a的名次之前的概率．

19．如图1，已知四边形ABCD的对角线AC与BD互相垂直，∠A=60°，∠C=90°，CD=CB=2，将△ABD沿BD折起，得到三棱锥A′﹣BCD，如图2．

（1）当A′C=2，求证：A′C⊥平面BCD；

（2）设BD的中点为E，当三棱锥A′﹣BCD的体积最大时，求点E到平面A′BC的距离．

20．已知离心率为
的椭圆C：
+
=1（a＞b＞0）经过点（1，
）．

（1）求椭圆C的方程；

（2）P是椭圆C上的一点，点A、A′分别为椭圆的左、右顶点，直线PA与y轴交于点M，直线PA′与y轴交于点N，求|OM|2+|ON|2（O为坐标原点）的最小值．

21．已知函数f（x）=xlnx﹣
x2（a∈R）．

（1）若a=2，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；

（2）若函数g（x）=f（x）﹣x有两个极值点x1、x2，是否存在实数a，使得
=g′（a）成立，若存在，求a的取值范围；若不存在，请说明理由．

请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题作答【选修4-1：几何证明选讲】

22．如图，P为圆外一点，PD为圆的切线，切点为D，AB为圆的一条直径，过点P作AB的垂线交圆于C、E两点（C、D两点在AB的同侧），垂足为F，连接AD交PE于点G．

（1）证明：PC=PD；

（2）若AC=BD，求证：线段AB与DE互相平分．

【选修4-4：坐标系与参数方程选讲】

23．已知曲线C1的参数方程是
（θ为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程是ρ=﹣4cosθ．

（1）求曲线C1与C2交点的极坐标；

（2）A、B两点分别在曲线C1与C2上，当|AB|最大时，求△OAB的面积（O为坐标原点）．

【选修4-5：不等式选讲】

24．设函数f（x）=|2x+1|+|x﹣a|（a∈R）．

（1）当a=2时，求不等式f（x）＜4的解集；

（2）当a＜﹣
，若存在x≤﹣
使得f（x）+x≤3成立，求a的取值范围．

参考答案与试题解析 数学一模试卷（文科）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的

1．（5分）

选：C．

点评： 此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．

2．（5分）

选：C．

点评： 本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数模的求法，是基础题．

3．（5分）函数f（x）=|log2x|+x﹣2的零点个数为（）

A． 1 B． 2 C． 3 D． 4

考点： 根的存在性及根的个数判断．

专题： 函数的性质及应用．

分析： 将方程的解的个数转化为两个函数的交点问题，通过图象一目了然．

解答： 解：函数f（x）=|log2x|+x﹣2的零点个数，就是方程|log2x|+x﹣2=0的根的个数，

得|log2x|=2﹣x，

令f（x）=|log2x|，g（x）=2﹣x，

画出函数的图象，如图：

由图象得：f（x）与g（x）有2个交点，

∴方程|log2x|+x﹣2=0解的个数为2个，

故选：B．

点评： 本题考查了函数根的存在性问题，考查转化思想，数形结合思想，是一道基础题．

4．（5分）已知数列{an}是等比数列，且a2+a6=3，a6+a10=12，则a8+a12=（）

A． 12
B． 24 C． 24
D． 48

考点： 等比数列的性质．

专题： 计算题；等差数列与等比数列．

分析： 设等比数列{an}的公比为q，利用等比数列的通项公式得出q2=2，再求值即可．

解答： 解：设等比数列{an}的公比为q，且q≠0，

∵a2+a6=3，a6+a10=12，

∴q4=4，

∴q2=2，

∴a8+a12=q6（a2+a6）=24

故选：B．

点评： 本题考查等比数列的通项公式的灵活应用，以及整体代换思想，属于基础题．

5．（5分）若变量x、y满足条件
，则z=2x﹣y的取值范围是（）

A． [﹣2，4] B． （﹣2，4] C． [﹣2，4） D． （﹣2，4）

考点： 简单线性规划．

专题： 不等式的解法及应用．

分析： 由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，由最优解可得z=2x﹣y的最小值．求解z的最大值得到范围即可．

解答： 解：由约束条件
作出可行域如图，

化z=2x﹣y为y=2x﹣z，

由图可知，当直线y=2x﹣z与y=2x+2重合时，直线y=2x﹣z在y轴上的截距最大，z有最小值，最小值为﹣2．

直线y=2x﹣z经过可行域的B点时，直线在y轴上的截距最小，z取得最大值，由
，可得x=3，y=2，B（3，2），z的最大值为：2×3﹣2=4，因为B不在可行域，所以z∈[﹣2，4）．

故选：C．

点评： 本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题

6．（5分）若△PAB是圆C：（x﹣2）2+（y﹣2）2=4的内接三角形，且PA=PB，∠APB=120°，则线段AB的中点的轨迹方程为（）

A． （x﹣2）2+（y﹣2）2=1 B． （x﹣2）2+（y﹣2）2=2 C． （x﹣2）2+（y﹣2）2=3 D． x2+y2=1

考点： 轨迹方程．

专题： 计算题；直线与圆．

分析： 设线段AB的中点为D，求出CD=1，可得线段AB的中点的轨迹是以C为圆心，1为半径的圆，即可得出结论．

解答： 解：设线段AB的中点为D，则

由题意，PA=PB，∠APB=120°，∴∠ACB=120°，

∵OB=2，

∴CD=1，

∴线段AB的中点的轨迹是以C为圆心，1为半径的圆，

∴线段AB的中点的轨迹方程是：（x﹣2）2+（y﹣2）2=1，

故选：A．

点评： 本题考查轨迹方程，考查圆的内接三角形的性质，确定线段AB的中点的轨迹是以C为圆心，1为半径的圆是关键．

7．（5分）若θ∈[0，
]，sin2θ=
，则cosθ=（）

A．
B．
C．
D．

考点： 二倍角的正弦；同角三角函数间的基本关系．

专题： 三角函数的求值．

分析： 由已知可求2θ∈[0，
]，由sin2θ=
，则由同角三角函数关系式可求cos2θ，由半角公式即可求cosθ的值．

解答： 解：∵θ∈[0，
]，

∴2θ∈[0，
]，

∴由sin2θ=
，则cos2θ=
=
，

∴cosθ=
=
=
．

故选：C．

点评： 本题主要考查了二倍角的正弦公式的应用，同角三角函数间的基本关系，半角公式的应用，属于基本知识的考查．

8．（5分）某几何体的三视图如图所示，若其正视图为等腰梯形，侧视图为正三角形，则该几何体的表面积为（）

A． 2
+2 B． 6 C． 4
+2 D． 8

考点： 由三视图求面积、体积．

专题： 计算题；空间位置关系与距离．

分析： 根据几何体的三视图，得出该几何体是一个三棱柱，两端去掉一个全等的三棱锥，结合图中数据，求出它的表面积．

解答： 解：根据几何体的三视图，得；

该几何体是三棱柱，两端去掉一个全等的三棱锥，如图所示；

底面ABCD是矩形，AB=2，AD=1，EF平行底面，且EF=1；

DE=AE=
=
；

过点E作EM⊥AB，垂足为M，则AM=
，

∴EM=1；

∴S梯形ABFE=
×（1+2）×1=
=S梯形CDEF，

S△ADE=S△BCF=
×1×
=
×1×1=
，S矩形ABCD=2×1=2；

∴该几何体表面积S表面积=2+2×
+2×
=6．

故选：B．

点评： 本题考查了利用几何体的三视图求几何体的表面积的应用问题，是基础题目．

9．（5分）已知D、E分别是△ABC的边AB、AC上的点，且BD=2AD，AE=2EC，点P是线段DE上的任意一点，若
=x
+y
，则xy的最大值为（）

A．
B．
C．
D．

考点： 基本不等式；平面向量的基本定理及其意义．

专题： 不等式的解法及应用；平面向量及应用．

分析： 如图所示，
，
．由于点P是线段DE上的任意一点，利用向量共线定理可得：存在实数k使得
=k
+
，与
=x
+y
比较可得2x+y=
，再利用基本不等式的性质即可得出．

解答： 解：如图所示，

，
．

∵点P是线段DE上的任意一点，

∴存在实数k使得
=k
+
，

与
=x
+y
比较可得：
，

∴2x+y=
，

∴
，

化为xy≤
，当且仅当2x=y=
时取等号．

故选：B．

点评： 本题考查了向量共线定理、共面向量基本定理、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

10．（5分）在多面体ABCDE中，AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，AC=AD=CD=DE=2AB，F为棱CE上异于点C、E的动点，则下列说法正确的有（）

①直线DE与平面ABF平行；

②当F为CE的中点时，BF⊥平面CDE；

③存在点F使得直线BF与AC平行；

④存在点F使得DF⊥BC．

A． 1个 B． 2个 C． 3个 D． 4个

考点： 命题的真假判断与应用．

专题： 空间位置关系与距离；简易逻辑．

分析： ①由AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，可得DE∥AB，利用线面平行的判定定理即可得到：直线DE与平面ABF平行，即可判断出正误；

②当F为CE的中点时，取CD的中点M，连接AM，MF，可得四边形ABFM是平行四边形，BF∥AM．而AM⊥CD，DE⊥AM，可得AM⊥平面CDE．即可得出BF⊥平面CDE，即可判断出正误；

③点C是平面ABF外的一点，因此BF与AC为异面直线，不可能平行，即可判断出正误；

④由③可得：当F为CE的中点时，BF⊥DF，DF⊥CE，利用线面垂直的判定定理可得：DF⊥平面BCE，即可判断出正误．

解答： 解：①∵AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，∴DE∥AB，而DE?平面ABF，AB?平面ABF，∴直线DE与平面ABF平行，正确；

②当F为CE的中点时，取CD的中点M，连接AM，MF，则
，又AB
，∴AB
MF，∴四边形ABFM是平行四边形，BF∥AM．

而AM⊥CD，DE⊥AM，CD∩DE=D，∴AM⊥平面CDE．∴BF⊥平面CDE，因此正确；

③点C是平面ABF外的一点，因此BF与AC为异面直线，不可能平行，不正确；

④由③可得：当F为CE的中点时，BF⊥DF，DF⊥CE，BF∩CE=F，∴DF⊥平面BCE，∴存在点F使得DF⊥BC，正确．

综上可得：①②④正确．

故选：C．

点评： 本题考查了空间线面位置关系的判定与性质定理，考查了空间想象能力，考查了推理能力，属于难题．

11．（5分）已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，过F的直线l与抛物线C相交于A、B两点，则|OA|2+|OB|2（O为坐标原点）的最小值为（）

A． 4 B． 8 C． 10 D． 12

考点： 抛物线的简单性质．

专题： 计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．

分析： 先讨论直线l的斜率不存在的情况，当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为：y=k（x﹣1），与抛物线的方程联立，利用根与系数的关系表示出x1+x2，x1x2，然后把|OA|2+|OB|2表示为关于k的函数，利用函数求最小值．

解答： 解：当直线l的斜率不存在，即直线l垂直于x轴时，方程为：x=1，

则A（1，2），B（1，﹣2）．

|OA|2+|OB|2=5+5=10．

当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为：y=k（x﹣1），设A（x1，y1），B（x2，y2）

由
得：k2x2﹣（2k2+4）x+k2=0，

∴
，x1x2=1，

|OA|2+|OB|2=
=

=

设
，则t＞2

|OA|2+|OB|2=t2+4t﹣2=（t+2）2﹣6 （t＞2）

所以|OA|2+|OB|2＞10．

综上可知：|OA|2+|OB|2的最小值为10．

故选：C．

点评： 本题主要考查了抛物线的应用，平面解析式的基础知识．在解题过程中思维的严谨性，要考虑直线的斜率不存在的情况．

12．（5分）已知f（x）为奇函数，当x∈[0，1]时，f（x）=1﹣2|x﹣
|，当x∈（﹣∞，﹣1]，f（x）=1﹣e﹣1﹣x，若关于x的不等式f（x+m）＞f（x）有解，则实数m的取值范围为（）

A． （﹣1，0）∪（0，+∞） B． （﹣2，0）∪（0，+∞）

C． {﹣
，﹣ln2，﹣1}∪（0，+∞） D． {﹣
，﹣ln2，0}∪（0，+∞）

考点： 奇偶性与单调性的综合．

专题： 函数的性质及应用．

分析： 根据函数的奇偶性求出函数f（x）的解析式，然后作出函数的图象，对m进行分类讨论进行求解即可．

解答： 解：若x∈[﹣1，0]，则﹣x∈[0，1]，

则f（﹣x）=1﹣2|﹣x﹣
|=1﹣2|x+
|，

∵f（x）是奇函数，

∴f（﹣x）=1﹣2|x+
|=﹣f（x），

则f（x）=2|x+
|﹣1，x∈[﹣1，0]，

若x∈[1，+∞），则﹣x∈（﹣∞，﹣1]，

则f（﹣x）=1﹣e﹣1+x=﹣f（x），

则f（x）=e﹣1+x﹣1，x∈[1，+∞），

作出函数f（x）的图象如图：

当m＞0时，x+m＞x，此时当x≥1时，不等式成立．

当m＜0时，x+m＜x，

①当x≥1时，有1+m≤x+m，不等式有解只需要1+m＞0即可，解得m＞﹣1，

②当0≤x＜1时，有m≤x+m＜1+m，不等式有解，只需1+m＞0即可，解得m＞﹣1，

③当﹣1＜x＜0时，有m﹣1＜x+m＜m，不等式有解，只需m＞﹣1即可，

④当x≤﹣1时，有x+m＜m﹣1＜﹣1，此时不等式一定无解，

综上m的取值范围是（﹣1，0）∪（0，+∞），

故选：A

点评： 本题主要考查函数奇偶性和单调性的应用，求出函数的解析式以及利用数形结合是解决本题的关键．

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分

13．（5分）某商场根据甲、乙两种不同品牌的洗衣粉在周一至周五每天的销量绘制成如图所示的茎叶图，则销量的中位数较大的品牌是乙．

考点： 茎叶图．

专题： 概率与统计．

分析： 根据中位数的概念，从茎叶图中分别找出甲乙两种品牌的销量的中位数是多少得到答案．

解答： 解：由茎叶图得到甲的中位数是25，乙的中位数是26，所以乙的销量的中位数较大；

故答案为：乙．

点评： 本题考查了调查数据的中位数；将数据按照大小顺序排列后，中间一个数或者中间两个数的平均数为中位数．

14．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入p的值为31，则输出的k的值为5．

考点： 程序框图．

专题： 图表型；算法和程序框图．

分析： 分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算变量S的值，并输出满足退出循环条件时的k值，模拟程序的运行，用表格对程序运行过程中各变量的值进行分析，不难得到输出结果．

解答： 解：程序在运行过程中各变量的值如下表示：

是否继续循环 S k

循环前/0 0

第一圈 是 1 1

第二圈 是 3 2

第三圈 是 7 3

第四圈 是 15 4

第五圈 是 31 5

第六圈 否

故S=15时，满足条件S＜p

S=31时，不满足条件S＜p

故输出的k的值为5

故答案为：5．

点评： 根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：①分析流程图（或伪代码），从流程图（或伪代码）中即要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理）?②建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型③解模．

15．（5分）定义在区间（m﹣1，m+1）上的函数f（x）=lnx﹣
x2在该区间上不是单调函数，则实数m的取值范围是[1，
）．

考点： 利用导数研究函数的单调性．

专题： 计算题；函数的性质及应用；导数的综合应用．

分析： 先求函数f（x）=lnx﹣
x2的定义域，再求导f′（x）=
﹣9x=
，从而由导数的正负确定函数的单调性，从而再由题意可得
，从而解得．

解答： 解：函数f（x）=lnx﹣
x2的定义域为（0，+∞），

f′（x）=
﹣9x=
，

故当x∈（0，
）时，f′（x）＞0；

当x∈（
，+∞）时，f′（x）＜0；

∵定义在区间（m﹣1，m+1）上的函数f（x）=lnx﹣
x2在该区间上不是单调函数，

∴
，

解得，1≤m＜
；

故实数m的取值范围是[1，
）；

故答案为：[1，
）．

点评： 本题考查了函数的单调性的判断与应用，同时考查了导数的应用，属于基础题．

16．（5分）设数列{an}满足a1=5，且对任意整数n，总有（an+1+3）（an+3）=4an+4成立，则数列{an}的前2015项的和为﹣835．

考点： 数列的求和．

专题： 等差数列与等比数列．

分析： 由已知利用递推思想求出数列{an}是以4为周期的数列，且a1+a2+a3+a4=﹣
，由此能求出数列{an}的前2015项的和．

解答： 解：∵数列{an}满足a1=5，且对任意整数n，总有（an+1+3）（an+3）=4an+4成立，

∴8（a2+3）=24，解得a2=0，

3（a3+3）=4，解得a3=﹣
，

，解得a4=﹣5，

﹣2（a5+3）=﹣16，解得a5=5．

∴数列{an}是以4为周期的数列，且a1+a2+a3+a4=﹣
，

2015=503×4+3，

∴S2015=503×（﹣
）+5+0﹣
=﹣835．

故答案为：﹣835．

点评： 本题考查数列{an}的前2015项的和的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意数列的周期性质的合理运用．

三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤

17．（12分）△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且asinA﹣bsinB=（c﹣b）sinC．

（1）求A；

（2）若B=
，点M在边BC上，且BC=3CM，AM=2
，求△ABC的面积．

考点： 余弦定理；正弦定理．

专题： 解三角形．

分析： （1）由asinA﹣bsinB=（c﹣b）sinC，由正弦定理可得：a2﹣b2=c2﹣bc，再利用余弦定理即可得出．

（2）由B=
，A=
．可得△ABC是等边三角形，设AB=a，则BM=
．在△ABM中，由余弦定理可得：AM2=AB2+BM2﹣2BA?BM?cosB，解出即可．

解答： 解：（1）∵asinA﹣bsinB=（c﹣b）sinC，由正弦定理可得：a2﹣b2=c2﹣bc，化为b2+c2﹣a2=bc，

由余弦定理可得：cosA=
=
，又A∈（0，π），∴A=
．

（2）∵B=
，A=
．∴△ABC是等边三角形，

设AB=a，则BM=
．

在△ABM中，由余弦定理可得：AM2=AB2+BM2﹣2BA?BM?cosB，

∴
﹣
，

化为a2=36，

解得a=6．

∴S△ABC=
=
．

点评： 本题考查了正弦定理、余弦定理、三角形的面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

18．（12分）某次比赛结束后，a、b、c、d死命选手成功晋级四强，在接下来的比赛中，他们取得任何一个名次的机会均相等，且无并列名次，已知c、d两名选手已全部进入前3名，求：

（1）选手a取得第一名的概率；

（2）选手c的名次排在选手a的名次之前的概率．

考点： 列举法计算基本事件数及事件发生的概率．

专题： 概率与统计．

分析： （1）列举总的基本事件的情况，找出满足条件的事件情况即可；

（2）由（Ⅰ）再找出满足条件的事件情况即可．

解答： 解