2016届江西高安市新街二中高三数学（理科）第1次模拟测试

(满分150分，时间120分钟 全国卷模式)

选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．

1.已知集合
，
，则集合

A.
B.
C.
D.

2. 复数
为纯虚数，若
(
为虚数单位)，则实数
的值为

A．
B．
　 　　 C．
　 　　 D．

3. 如图所示的程序框图，若输入的
值为0，则输出的
值为

A．
B．0 C．1 D．
或0

4. 已知条件
：
，条件
：
，且
是
的充分

不必要条件，则
的取值范围是

A.
B．

C．
D．

5. 设数列
的前
项和为
，若
，

则

A．
B．
C．
D．

6. 如图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积为

A．
B.

C.
D.

7. 设
为抛物线

上不同的两点，
为坐标原点,且
,则
面积的最小值为

A．
B．

C．
D．

8. 已知点
在不等式组

表示的平面区域上运动，则
的取值范围是

A.
　 B.
C.
D.

9. 已知向量
与
的夹角为
，且
，若
，且
，则实数
的值为

A．
B．
C．
D．

10. 过双曲线
的一个焦点
向其一条渐近线作垂线
，垂足为
，
与另一条渐近线交于
点，若
，则双曲线的离心率为

A.2 B.
C.
D.

11. 已知
都是负实数，则
的最小值是

A.
B.
C.
D.

12. 已知函数
，则关于
的方程
的实根个数不可能为

A.
个 B.
个 C.
个 D.
个

填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分.

13. 若函数
在区间
上是单调减函数，且函数值从
减小到
，则
___________.

14. 已知数列
，则
___________.

15. 将标号为1,2,3,4,5的五个球放入3个不同的盒子，每个盒子至少有一个球，则一共有__________种放法。

16.已知
中的内角为
，重心为
，若
，则
。

解答题：本大题共6小题，满分70分．其中22,23,24题为选做题.

17．（本题满分12分）

已知等差数列
的公差
，
，且
成等比数列.

（1）求通项公式
；

（2）令
，
，求数列
的前
项的和
.

18.（本小题满分12分）

甲，乙，丙三人参加某次招聘会，假设甲能被聘用的概率是
，甲，丙两人同时不能被聘用的概率是
，乙，丙两人同时能被聘用的概率是
，且三人各自能否被聘用相互独立．

（1）求乙，丙两人各自能被聘用的概率；

（2）设
表示甲，乙，丙三人中能被聘用的人数与不能被聘用的人数之差的绝对值，求
的分布列与均值（数学期望）．

19.（本小题满分12分）

如图1，直角梯形
中，
∥

,
,
是底边
上的一点，且
. 现将
沿
折起到
的位置，得到如图2所示的四棱锥
且
.

（1）求证：
平面
;

（2）若
是棱
的中点，求直线
与平面
所成角的正弦值.

20．（本小题满分12分）

如图所示，已知点
是抛物线
上一定点，直线AM、BM的斜率互为相反数，且与抛物线另交于A、B两个不同的点。

（1）求点M到其准线的距离；

（2）求证：直线AB的斜率为定值。

21．（本小题满分12分）

已知函数
，
。

（1）求函数
的最小值；

（2）若存在
（
是自然对数的底数）使不等式
成立，求实数
的取值范围。

22．（坐标系与参数方程选做题）

已知曲线
的极坐标方程是
．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为
轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线
的参数方程是
是参数

（1）将曲线
的极坐标方程化为直角坐标方程；

（2）若直线
与曲线
相交于
、
两点，且
，求直线的倾斜角
的值．

23．(几何证明选讲选做题)

如图,已知
的两条直角边AC,BC

的长分别为3cm,4cm,以AC为直径的圆与AB交于点D,

求
.

24．(不等式选讲选做题)

设不等式＋≤a对一切x＞0，y＞0恒成立，求实数a的最小值

2016届江西高安市新街二中高三数学（理科）第1模拟测试答案

一．选择题：共12小题，每小题5分，满分60分

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



答案

A

D

B

A

B

D

C

C

D

A

B

A





二．填空题：共4小题，每小题5分，满分20分．

13．
14．
15. 150 16. 1/12

三．简答题：本大题共6小题，满分70分．其中22,23,24题为选做题.

17.解: （1）
，
，

因为
，则
.

所以

……………….6分

（2）因为
，

所以

……………………………12分

18．解：（1）记甲，乙，丙各自能被聘用的事件分别为
，
，
，

由已知
，
，
相互独立，且满足

解得
，
．

所以乙，丙各自能被聘用的概率分别为
，
． …………..6分

（2）
的可能取值为1，3．

因为

．

所以

．

所以
的分布列为

















所以
． …………………….12分

19、解：（1）设
，则

∴
………2分

又

，

∴

∴
………4分

又
∩

∴
平面
………5分

（2）由（1）知：
平面
且
,分别以
为
轴、
轴、
轴的正半轴建立空间直角坐标系，如图 ………6分

则

是
的中点 ∴
∴
………8分

设平面
的法向量为

由
即
令
得
………10分

设直线
与平面
所成角为
，则

∴ 直线
与平面
所成角的正弦值为
. ………12分

20、解：（1）∵
是抛物线
上一定点

∴
，

∵抛物线
的准线方程为

∴ 点M到其准线的距离为
………….5分

（2）由题知直线MA、MB的斜率存在且不为
， 设直线MA的方程为：
∴

∵
∴

∵ 直线AM、BM的斜率互为相反数

∴ 直线MA的方程为：
同理可得：

∴

∴ 直线AB的斜率为定值
………….12分

21.解：（1）易知，
定义域为
，且
，

当
时，
，此时
单调递减，

当
时，
，此时
单调递增。

所以
；………………5分

（2）由题意知
，即
，

设
，则

当
时，
，此时
单调递减；

当
时，
，此时
单调递增。

所以
，因为存在
使不等式
成立，

所以
，又
，故

所以
。……………………..12分

22．解：（1）
……4分

（2）将
代入圆的方程得
，

化简得
.

设
、
两点对应的参数分别为
、
,则
, ……6分

,

,
,
或
. ……10分

23．解：∵以AC为直径的圆与AB交于点D,∴

，

∽
，

.

24. 解：原题即a≥对一切x＞0，y＞0恒成立．

设A＝，

A2＝＝1＋≤2，

当x＝y时等号成立，∵A＞0，

∴0＜A≤.即A有最大值.

∴当a≥时，＋≤a对一切x＞0，y＞0成立．[来源:Zxxk.Com]

∴a的最小值为.

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