2016届如东中学高三数学阶段测试

一．填空题：

1.已知集合
，
，若
，则
▲

2.命题“
”的否定是 ▲

3.已知函数
▲

4．已知函数
（
为常数）。若
在区间
上是增函数，则
的取值范围是 ▲

5．已知
，
为正实数，函数
在
上的最大值为
，则
在
上的最小值为 ▲

6．已知
，则
＝ ▲

7．若函数
是定义在（0，+
）上的增函数，且对一切x>0,y>0满足
，则不等式
的解集为 ▲

8. 已知过点O的直线与函数
的图象交于A、B两点，点A在线段OB上，过A作
轴的平行线交函数
的图象于C点，当BC∥
轴，点
的横坐标是 ▲

9．设函数
有下列四个结论：

①D（x）的值域为{0,1}；② D（x）是偶函数；③D（x）不是周期函数；④D（x）不是单调函数；其中正确的是 ▲ （填序号）

10．已知
，
，若同时满足条件：

①
，
或
；②
,

。则m的取值范围是 ▲

11．在
中，若
，则
= ▲

12．函数
在区间
上的零点个数为 ▲

13．已知函数
则满足不等式
的x的取值范围是 ▲

14.设函数
，当
时，
恒成立，则
的最大值是 ▲

二．解答题：

15．已知命题p：函数
在
内单调递增 ；命题q：函数
大于0恒成立 ，若命题“p或q”为真，“p且q”为假，求实数m的取值范围．

16．已知函数
，且函数
的最大值为2，最小正周期为
，并且函数
的图像过点

（1）求函数
的解析式；

（2）设
中，角
的对边分别为
，且
，
，求
的取值范围。

17.如图（1），有一块形状为等腰直角三角形的薄板，腰AC的长为a米（a为常数），现在斜边AB上选一点D，将△ACD沿CD折起，翻扣在地面上，做成一个遮阳棚，如图（2）. 设△BCD的面积为S，点A到直线CD的距离为d. 实践证明，遮阳效果y与S、d的乘积Sd成正比，比例系数为k（k为常数，且k>0）.

（1）设∠ACD=
，试将S表示为
的函数；

（2）当点D在何处时，遮阳效果最佳（即y取得最大值）？

18．已知函数
的图象关于原点对称．

(1) 求m的值；

(2)判断函数
在区间
上的单调性并加以证明；

(3)当
的值域是
，求
与
的值.

19. 已知函数
，

（1）求证：
;

(2)设
,求证：存在唯一的
使得g(x)图象在点A(
)处的切线
与y=f(x)图象也相切；

（3）求证：对任意给定的正数a,总存在正数x,使得
成立.

20．已知函数
．

（1）若关于
的方程
只有一个实数解，求实数
的取值范围；

（2）若当
时，不等式
恒成立，求实数
的取值范围；

（3）求函数
在区间
上的最大值（直接写出结果，不需给出演算步骤）．

高三阶段测试（加试题）

21.已知函数f(x)=ax2+2ln(2-x)(a∈R),设曲线y=f(x)在点（1，f(1)）处的切线为
，若
与直线x-2y+2=0垂直，求a的值.

22.设函数

（Ⅰ）当
的最小值；

（Ⅱ）若
对任意的实数
恒成立，求实数
的取值范围.

23.在△ABC中，BC=
，AC=1，以AB为边作等腰直角三角形ABD（B为直角顶点，C、D两点在直线AB的两侧）．当
变化时，求线段CD长的最大值为.

24．函数
，定义
的第
阶阶梯函数
，其中
，

的各阶梯函数图像的最高点
，最低点

（1）直接写出不等式
的解；

（2）求证：所有的点
在某条直线
上．

（3）求证：点
到（2）中的直线
的距离是一个定值．

高三数学阶段测试参考答案

1. 4 2.
3. -4 4．
5．
6． 1/7 7．（0，2）

8.
9．①②④ 10
11． 2 12．6 13．
14. 2

15．解：p为真得
，……3分；q为真得1

p真q假得
……..9分；p假q真得1

综上得
…….14分

16．答案：（1）

（2）

∴

17.

（1）△BCD中
，

∴
，∴
…………4分

∴

，
……6分（其中范围1分）

（2）
…………8分

………………10分

令
，则
，

∴
在区间
上单调递增，…………12分

∴当
时
取得最大值，此时
，

即D在AB的中点时，遮阳效果最佳.………………14分

18．解：（1）因为函数
的图象关于原点对称，所以
即
，

，得
或
……………………………………….3分

当
时，
舍去；

当
时，
，令
，解得
或
.

所以符合条件的m值为-1 …………………………………………………………………5分

（2）由（1）得
，任取
，

……………………6分

∴
，

∴
………………………………………………………………….9分

∴当
时，
即
，此时
为增函数；

当
时，
即
，此时
为减函数…12分

（3）由（2）知，当
时
在
上为减函数；同理在
上也为减函数

当
时，
与已知矛盾，舍去；………………14分

当
时，因为函数
的值域为

∴
，解得t=1,
……………………………………16分

19. （1）令

，

得
,

当
时
当
时

，

由最小值定义得
即
…………………………………（4分）

（2）
在
处切线方程为
①

设直线
与
图像相切于点
，则

②……(6分)

③

由①②得 ④

⑤

下证
在
上存在且唯一.

令
，

在
上
.

又

图像连续，
存在唯一

使⑤式成立，从而由③④可确立
.故得证……………………………………………………（10分）

由（1）知
即证当
时不等式
即
在
上有解.

令
，即证
………………………………………（12分）

由
得
.

当
时，
，

当
时，
.

.

令
，其中

则
，

.

综上得证…………………………………………………………………………………(16分)

20．解（1）方程
，即
，变形得
，

显然，
已是该方程的