东北三省三校2015年高三第一次联合模拟考试

理科数学试卷

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共150分,考试时间120分钟。考试结束

后，将本试卷和答题卡一并交回。

注意事项：

1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码

区域内。

2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、

试题卷上答题无效。

4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

第Ⅰ卷（选择题 共60分）

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）

1、已知集合
，
，则
（ ）

A．
B．
C．
D．

2、复数
（ ）

A．
B．
C．
D．

3、点
到抛物线
准线的距离为
，则
的值为（ ）

A．
B．
C．
或
D．
或

4、设
是公差不为零的等差数列
的前
项和，且
，若
，则当
最大时，
（ ）

A．
B．
C．
D．

5、执行如图所示的程序框图，要使输出的
值小于
，则输入的
值不能是下面的（ ）

A．
B．

C．
D．

6、下列命题中正确命题的个数是（ ）

①对于命题

，使得
，则

，均有

②
是
的必要不充分条件，则
是
的充分不必要条件

③命题“若
，则
”的逆否命题为真命题

④“
”是“直线

与直线

垂直”的充要条件

A．
个 B．
个 C．
个 D．
个

7、如图，网格纸上小正方形的边长为
，若粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（ ）

A．
B．

C．
D．

8、设双曲线的一个焦点为
，虚轴的一个端点为
，焦点
到一条渐近线的距离为
，若
，则双曲线离心率的取值范围是（ ）

A．
B．
C．
D．

9、不等式组
表示的点集记为
，不等式组
表示的点集记为
，在
中任取一点
，则
的概率为（ ）

A．
B．
C．
D．

10、设二项式
（
）展开式的二项式系数和与各项系数和分别为
，
，则
（ ）

A．
B．
C．
D．

11、已知数列
满足
，若数列的最小项为
，则
的值为（ ）

A．
B．
C．
D．

12、已知函数
，若函数
有且只有两个零点，则
的取值范围为（ ）

A．
B．
C．
D．

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）

13、向量
，
满足
，
，
，则向量
与
的夹角为 ．

14、三棱柱
各顶点都在一个球面上，侧棱与底面垂直，
，
，
，则这个球的表面积为 ．

15、某校高一开设4门选修课，有4名同学，每人只选一门，恰有2门课程没有同学选修，共有 种不同选课方案（用数字作答）．

16、已知函数
（
）的图象关于直线
对称，则
．

三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）

17、（本小题满分12分）已知
的面积为
，且满足
，设
和
的夹角为
．

求
的取值范围；

求函数
的取值范围．

18、（本小题满分12分）为调查市民对汽车品牌的认可度，在秋季车展上，从有意购车的500名市民中，随机抽样100名市民，按年龄情况进行统计的频率分布表1和频率分布直方图2．

频率分布表中的①②位置应填什么数？并补全频率分布直方图，再根据频率分布直方图估计这500名市民的平均年龄；

在抽出的100名市民中，按分层抽样法抽取20人参加宣传活动，从这20人中选取2名市民担任主要发言人，设这2名市民中“年龄低于30岁”的人数为
，求
的分布列及数学期望．

19、（本小题满分12分）如图，四棱锥
的底面是边长为1的正方形，
底面
，
、
分别为
、
的中点．

求证：
平面
；

若
，试问在线段
上是否存在点
，使得二面角
的余弦值为
？若存在，确定点
的位置；若不存在，请说明理由．

20、（本小题满分12分）已知椭圆
（
）的左、右焦点为
、
，点
在椭圆上，且
与
轴垂直．

求椭圆的方程；

过
作直线与椭圆交于另外一点
，求
面积的最大值．

21、（本小题满分12分）已知
是实常数，函数
．

若曲线
在
处的切线过点
，求实数
的值；

若
有两个极值点
，
（
），

求证：
；

求证：
．

请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．

22、（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

如图，在
中，
，以
为直径的圆
交
于点
，点
是
边的中点，连接
交圆
于点
．

求证：
是圆
的切线；

求证：
．

23、（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

已知曲线
的极坐标方程是
，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为
轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线
的参数方程是
（
为参数）．

求曲线
的直角坐标方程与直线
的普通方程；

设点
，若直线
与曲线
交于
，
两点，且
，求实数
的值．

24、（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲

设函数
．

解不等式
；

若
，使得
，求实数
的取值范围．

东北三省三校2015年三校第一次联合模拟考试理科数学试题

参考答案

选择题：

1.B 2.C 3.C 4.B 5.A 6.B 7.C 8.A 9.A 10.C 11.B 12.C

填空题：

13. 900 14. 64
15. 84 16.

三．解答题：

17.解：

（Ⅰ）设
中角
的对边分别为
，

则由已知：
，
，
分

可得
，所以：
．
分

（Ⅱ）

．
分

，

，
．

即当
时，
；当
时，
．

所以：函数
的取值范围是

分

18.解：（1）由表知：①，②分别填
.补全频率分布直方图如下:
分