甘肃省部分普通高中2015届高三2月第一次联考

数学 试卷（文科）

命题学校：嘉峪关市酒钢三中

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．设集合 M={ x | x 2+3x+2<0} , 集合
, 则 M∪N= （ ）

A．{ x | x
-2} B．{ x | x>-1} C．{ x | x<-1} D．{ x | x
-2}

2．下面是关于复数
的四个命题:

:
,


的共轭复数为

的虚部为

其中真命题为( )

A．
B．
C．
D．

3．下列推断错误的是(　　)

A. 命题“若
则
”的逆否命题为“若
则
”

B. 命题p：存在
，使得
，则非p：任意x∈R，都有

C. 若p且q为假命题，则p，q均为假命题

D. “
”是“
”的充分不必要条件

4．若一个底面为正三角形、侧棱与底面垂直的棱柱的三视图如下图所示，则这个棱柱的体积为（ ）

A.
B.
C.
D.6

5.已知平面向量
的夹角为
，
（ ）

A．
B．
C．
D．

6. 函数
的图象恒过定点
，若点
在直线
上，则
的最小值为（ ）

A．3 B．4 C． 5 D．6

7. 等比数列
中，
，则数列
的前8项和等于（ ）

A．6 B．5 C．3 D． 4

8. 已知集合
表示的平面区域为Ω，若在区域Ω内任取一点P(x,y)，则点P的坐标满足不等式x2+y2≤2的概率为（ ）

(A)
(B)
(C)
(D)

9. 已知函数
的定义域为
，部分对应值如下表，

的导函数
的图象如右图所示。当
时，函数
的零点的个数为（ ）

A.1　 B.2　　　 C.3　　 D.4

10.定义行列式运算：
.若将函数
的图象向左平移

个单位后，所得图象对应的函数为奇函数，则
的最小值是（ ）

A．
B．
C．
D．

11.已知抛物线关于
轴对称，它的顶点在坐标原点
，并且经过点
。若点
到该抛物线焦点的距离为
，则
（ ）

A、
B、
C、
D、

12. 设
是定义在
上的恒不为零的函数，对任意实数
，都有
，若
，则数列
的前
项和
的取值范围是（ ）

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分）

13.定义某种运算
，
的运算原理如右图：则式子
_________。

14. 若tan
+
=4,则sin2
=_________。

15. 已知双曲线x2
y2 =1,点F1,F2为其两个焦点，点P为双曲线上一点，若P F1⊥P F2,则∣P F1∣+∣P F2∣的值为___________________.

16. 已知曲线
存在垂直于
轴的切线，且函数
在
上单调递减，则
的范围为 ．

三、解答题（本大题有6小题，共70分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17．(本小题满分10分)

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且

（I）求cosB的值；

（II）若
，且
，求
的值.

18．(本小题满分12分)

为了了解甘肃省各景点在大众中的熟知度，随机对15～65岁的人群抽样了
人，回答问题“甘肃省有哪几个著名的旅游景点？”统计结果如下图表．

组号

分组

回答正确的人数

回答正确的人数

占本组的频率



第1组

[15，25)

a

0.5



第2组

[25，35)

18

x



第3组

[35，45)

b

0.9



第4组

[45，55)

9

0.36



第5组

[55，65]

3

y



 (Ⅰ)分别求出a，b，x，y的值；

(Ⅱ)从第2，3，4组回答正确的人中用分层抽样的方法

抽取6人，求第2，3，4组每组各抽取多少人？

(Ⅲ)在(Ⅱ)抽取的6人中随机抽取2人，求所抽取的人中

恰好没有第3组人的概率.

19．（本题满分12分）

已知四棱锥P-ABCD，底面ABCD是
、边长为
的菱形，又
，且PD=CD，点M、N分别是棱AD、PC的中点．

（1）证明：DN//平面PMB；

（2）证明：平面PMB
平面PAD；

（3）求点A到平面PMB的距离．

20．（本小题满分12分）

已知椭圆C的对称中心为原点O，焦点在x轴上，左右焦点分别为
和
，且|

|=2，

点（1，
）在该椭圆上．

（1）求椭圆C的方程；

（2）过
的直线
与椭圆C相交于A，B两点，若
A
B的面积为
，求以
为圆心且与直线
相切圆的方程．

21. （本小题满分12分）

已知函数
,其中常数
.

（1）当
时，求函数
的极大值；

（2）试讨论
在区间
上的单调性;

（3）当
时,曲线
上总存在相异两点
,
,使得曲线
在点
处的切线互相平行,求
的取值范围.

请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.

22．（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲

如图所示,
为圆
的切线,
为切点,

，

的角平分线与
和圆
分别交于点
和
.

（I） 求证

（II） 求
的值.

23．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程

在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为
为参数）．以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．

（Ⅰ）求圆C的极坐标方程；

（Ⅱ）直线
的极坐标方程是
，射线
（
≥0）与圆C的交点为O、P，与直线
的交点为Q，求线段PQ的长．

24．(本小题满分l0分)选修4—5：不等式选讲

已知函数

（I）当a=0时，解不等式
；

（II）若存在x∈R，使得，f（x）≤g（x）成立，求实数a的取值范围．

2015年2月甘肃省河西五市部分普通高中高三第一次联合考试

数学参考答案（文科）

第Ⅰ卷（选择题 共60分）

一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1.A 2.C 3．C 4．B 5. C 6．B 7.D 8.D 9．D 10．C 11．B 12．C

第Ⅱ卷（非选择题 共90分）

二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共25分．将答案填写在题中的横线上．

13．14； 14．
； 15．
； 16.
；

三．解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．(本小题满分10分)

解：（I）由正弦定理得
，

因此
…………6分

（II）解：由，
得accosB=2

所以a＝c＝ ----------12分

18．(本小题满分12分)

解：（Ⅰ）由频率表中第4组数据可知，第4组总人数为
，

再结合频率分布直方图可知n=
, ∴ a=100×0.01×10×0.5=5，b=100×0.03×10×0.9=27，
…4分

（Ⅱ）因为第2，3，4组回答正确的人数共有54人，

所以利用分层抽样在54人中抽取6人，每组分别抽取的人数为：第2组：
人；第3组：
人；第4组：
人 …8分

（Ⅲ）设第2组2人为：A1，A2；第3组3人为：B1，B2，B3；第4组1人为：C1.

则从6人中随机抽取2人的所有可能的结果为：(A1,A2)，(A1,B1)，(A1,B2)，(A1,B3)，(A1,C1)，

(A2,B1)，(A2, B2)，(A2,B3)，(A2,C1)，(B1,B2)，(B1,B3)，(B1,C1)，(B2,B3)，(B2,C1)，(B3,C1)共15个基本事件，其中恰好没有第3组人共3个基本事件， …….…10分

∴ 所抽取的人中恰好没有第3组人的概率是：
. …….…12分

19．（本题满分12分）

解：（1）证明：取PB中点Q，连结MQ、NQ，

因为M、N分别是棱AD、PC中点，所以

QN//BC//MD，且QN=MD，于是DN//MQ.

.… …………………4分

（2）

又因为底面ABCD是
、边长为
的菱形，且M为AD中点，

所以
.又
所以
.

………………8分

（3）因为M是AD中点，所以点A与D到平面PMB等距离.

过点D作
于H，由（2）平面PMB
平面PAD，所以
.

故DH是点D到平面PMB的距离.

所以点A到平面PMB的距离为
.………12分

20．（本小题满分12分）

解：（1）椭圆C的方程为
……………．．（4分）

（2）①当直线
⊥x轴时，可得A（-1，-
），B（-1，
），
A
B的面积为3，不符合题意． …………（6分）

②当直线
与x轴不垂直时，设直线
的方程为y=k（x+1）．代入椭圆方程得：

，显然
＞0成立，设A
，B
，则

，
，可得|AB|=
……………．．（10分）

∴
A
B的面积=
|AB| r=
=
，又圆
的半径r=
，化简得：17
+
-18=0，得k=±1，∴r =
，圆的方程为
……………．．（12分）

21. （本小题满分12分）

3)由题意,可得
(
)

既

对
恒成立

另
则
在
上单调递增，

故
，从而

的取值范围是
。………… 12分

22．（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲

（1）∵
为圆
的切线,
又
为公共角,

. ……………………4分

（2）∵
为圆
的切线,
是过点
的割线,

又∵

又由（1）知
,

连接
,则

，则
，

∴
. ------10分

23．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程

24．(本小题满分l0分)选修4—5：不等式选讲

故
，从而所求实数
的范围为
--------10分

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