沈阳铁路实验中学2015届高三下学期初考试

数学（理）试题

第I卷（选择题 共60分）

一、选择题：（本大题共12小题，每题5分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将答案填涂在答题卡指定的位置。）

1．设集合
，则
（ ）

A．
B．
C．
D．

2．复数
,
,且
，则
的值为 （ ）

A．
B．
C．
D．

3．设
，
，则
的大小关系是（ ）

A．
B．
C．
D．

4. 若某三棱柱截去一个三棱锥后所剩几何体的三视图如下图所示，

则此几何体的体积等于（ ）

A.
B.

C.
D.

5.给出下列四个命题：

①命题“
”的否定是“
”；

②线性相关系数r的绝对值越接近于1，表明两个随机变量线性相关性越强；

③若
，则不等式
成立的概率是
；

④函数
上恒为正，则实数a的取值范围是
。

其中真命题的是 ( )

A. ①② B. ②④ C. ②③④ D. ②③

6．已知O为直角坐标系原点，P、Q坐标均满足不等式组
则
取最小值时的
的大小为 （ ）

A．
B。
C。
D。

7．若
在
上是减函数，则
的取值范围是 （ ）

A、
B、
C、
D、

8．数列{an}满足：a1 = 1，且对任意的
都有：
，则

= （ ）

A、
B、
C、
D、

9．已知
为抛物线
上的动点，点
在
轴上的射影为
，点
的坐标是
，

则
的最小值是 （ ）

A．
B．
C．
D．

10．已知函数
，其中
，则下列结论中正确的是（ ）

A．
是最小正周期为
的偶函数 B．
的一条对称轴是

C．
的最大值为
D．将函数
的图象左移
得到函数
的图象

11．已知正数x、y、z满足
的最小值为 （ ）

A．3 B．
C．4 D．

12．若函数y＝f(x)(x∈R)满足f(x＋2)＝f(x)，且x∈(－1,1]时，f(x)＝1－x2，

函数g(x)＝，则函数h(x)＝f(x)－g(x)在区间[－5,10]内零点的个数为(　　)

A．15 B．14 C．13 D．8

第Ⅱ卷（非选择题 共90分）

二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题卡上。）

13．已知直线
和函数
的图象恒过同一个定点，则
的最小值为 。

14．若二项式(a
)6的展开式中的常数项为-160,则
= 。

15．将2个a和2个b共4个字母填在如图所示的16个小方格内，每个小方格内至多填1个字母，若使所有字母既不同行也不同列，则不同的填法共有 种 （用数字作答）

16. 已知函数
在区间
上单调递增，则实数
的取值范围是 。

三、解答题：（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。）

17．（本小题满分12分）

在△ABC中，a, b, c分别为内角A, B, C的对边，且2asinA=(2b+c)sinB+(2c+b)sinC\

（Ⅰ）求A的大小；

（Ⅱ）求
的最大值.

18．（本小题满分12分）

某市公租房的房源位于A，B，C三个片区，设每位申请人只申请其中一个片区的房源，且申请其中任一个片区的房源是等可能的求该市的任4位申请人中：

（Ⅰ）恰有2人申请A片区房源的概率；

（Ⅱ）申请的房源所在片区的个数
的分布列与期望

19．（本小题满分12分）

如图，在三棱锥
中，
，
，
，设顶点A在底面
上的射影为E．

（Ⅰ）求证:
；

（Ⅱ）设点
在棱
上，且
，试求二面角
的余弦值．

20．（本小题满分12分）

设椭圆
：
的左、右焦点分别为
，上顶点为
，

过点
与
垂直的直线交
轴负半轴于点
，且
．

（1）求椭圆
的离心率；

（2）若过
、
、
三点的圆恰好与

直线
：
相切，

求椭圆
的方程；

（3）在（2）的条件下，过右焦点
作斜率为
的直线
与椭圆
交于
、
两点，在
轴上是否存在点
使得以
为邻边的平行四边形是菱形，如果存在，求出
的取值范围，如果不存在，说明理由。

21．（本小题满分12分）

已知函数
，其中
为自然对数的底数，
。

（1）设
，求函数
的最值；

（2）若对于任意的
，都有
成立，

求
的取值范围。

选答题（本小题满分10分）（请考生在第22、23、24三道题中任选一题做答，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑。注意所做题号必须与所涂题目的题号一致，并在答题卡指定区域答题。如果多做，则按所做的第一题计分。）

22．选修4－1：几何证明选讲

如图，已知
是
的外角
的平分线，交
的延长线于点
，延长
交
的外接圆于点
，连结
。

（1）求证：
；

（2）求证：
；

（3）若
是
外接圆的直径，

且
，求
的长。

23．选修4—4：坐标系与参数方程

在直角坐标系xoy中，直线
的参数方程为
（t为参数）.在极坐标系（与直角坐标系xoy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，圆C的方程为
.

（1）求圆C的直角坐标方程；

（2）设圆C与直线
交于点A、B，若点P的坐标为
，求|PA|+|PB|.

24．选修4—5：不等式证明选讲

已知函数
。

（1）解不等式
；

（2）若存在
使得
成立，求实数
的取值范围。

参考数学

1-5 DCDCB 6-10 ACABD 11-12 CA 13. 6 14.
15. 144 16.

18．解：这是等可能性事件的概率计算问题.

（I）解法一：所有可能的申请方式有34种，恰有2人申请A片区房源的申请方式
种，从而恰有2人申请A片区房源的概率为

解法二：设对每位申请人的观察为一次试验，这是4次独立重复试验.

记“申请A片区房源”为事件A，则

从而，由独立重复试验中事件A恰发生k次的概率计算公式知，恰有2人申请A片区房源的概率为

（II）ξ的所有可能值为1，2，3.又

综上知，ξ有分布列

ξ

 1 2 3



P





从而有

19．解：证明：方法一：由
平面
，得

，又

，则
平面
，故
， ?3分同理可得
，则
为矩形，

又
，则
为正方形，故
． ? 5分

方法二：由已知可得
，设
为
的中点，则
，则
平面
，故平面
平面
，则顶点
在底面
上的射影
必在
，故
．（Ⅱ）方法一:由（I）的证明过程知
平面
，过
作
，垂足为
，则易证得
，故
即为二面角
的平面角， 8分

由已知可得
，则
，故
，则
，又
，则
， 10分故
，即二面角
的余弦值为
12分

方法二: 由（I）的证明过程知
为正方形，如图建立坐标系，

则
，

，

，可得
， 8分则
，
，易知平面
的一个法向量为
，设平面
的一个法向量为
，则由
得
10分则
，即二面角
的余弦值为
． 12分考点：1.垂直关系的证明;2.二面角;3.空间向量.

（3）由（Ⅱ）知

：

代入得

设
，
则
，
…8′

由于菱形对角线垂直，则

故
则

…10′

由已知条件知
且

故存在满足题意的点P且
的取值范围是
． …12′

21．解（1）当
时，

，

或
，
随
变化情况如下表：

















—















最小值









时，
…5′

（2）命题等价于对任意
，

恒成立，

即
对任意
恒成立。 …6′

，
， …8′

又

， …9′

只需
或
。

综上：
的取值范围为
或
。 …12′

22．（1）因为

又

所以
， 所以
…3′

（2）因为
∽
，所以
…6′

（3）因为
为直径，所以
，所以
，

又
，所以
，所以
…10′

23．试题分析：（1）由
得
，即
4分

（2）将l的参数方程代入圆c的直角坐标方程，得