2015届龙海一中——漳州实验中学高三上学期期末考

数学（文）试卷

考试时间：120分钟 试卷满分：150分

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）



1．已知集合

，则
(　　)

A．
B．
　　 C．
　 D．

2．下列结论错误的是(　 　)

A．命题“若
，则
”与命题“若
则
”互为逆否命题;

B．命题
，命题
则
为真;

C．若
为假命题，则
、
均为假命题．

D． “若
则
”的逆命题为真命题;

3．输入
时，运行如图所示的程序，输出的
值为( )

A．4 B．5

C．7 D．9

4．复数
（
是虚数单位）的共轭复数为(　　)

（A）
（B）
（C）
（D）

5．已知抛物线

，过点
的直线与抛物线交于
，
两点，
为坐标原点，则
的值为(　　)

（A）
（B）
（C）
（D）

6．已知
，
，则
的值是(　　)

（A）
（B）
（C）
（D）

7．点
是如图所示的坐标平面的可行域内（阴影部分

且包括边界）的任意一点，若目标函数
取得最

小值的最优解有无数个，则
的最大值是(　　)

A．
B．

C．
D．

８．在等差数列
中，若
，则此数列的前13项的和等于(　　)

A．8 B．13 C．16 D．26

9．已知
，
是两条不同直线，
，
是两个不同的平面，且

，则下列叙述正确的是(　　)

（A）若
，

，则
（B）若
，

，则

（C）若
，
，则
（D）若
，
，则

10．设
＝(1,2)，
＝(a,3)，
＝(－b,4)，a>0，b>0，O为坐标原点，若A，B，C三点共线，则＋的最小值是 (　　)

A．2 B．4 C．4
D．8

11．如图，已知正方体
棱长为4，点
在棱
上，且
．点
，
分别为棱
，
的中点，
是侧面
内一动点，且满足
.则当点
运动时，
的最小值是(　　)

（A）

（B）

（C）

（D）

12．设双曲线
的右焦点为
，过点
作与
轴垂直的直线
交两渐近线于
两点，且与双曲线在第一象限的交点为
，设
为坐标原点，若
，
，则双曲线的离心率为(　　)

A．
B．
C．
D．

二、填空题：（本大题共4小题，每小题4分，共16分）

13．已知一几何体的三视图如下，则该几何体的体积为 .

14．已知函数
若直线
与函数
的图象有两个不同的交点，则实数
的取值范围是 .

15．ΔABC中，B=30o，AC=1，AB=
，则ΔABC的面积为 .

16．已知定义域为R的函数
，若关于
的方程
有3个不同的实根
，则
等于 .

三、解答题（本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17．（本小题满分12分）

已知向量
，设函数

（Ⅰ）求
在区间
上的零点；

（Ⅱ）若角
是△
中的最小内角，求
的取值范围．

18．(本小题满分12分)

如图1，在正方形
中，
，
是
边的中点，
是
边上的一点，对角线
分别交
、
于
、
两点．将
折起，使
重合于
点，构成如图2所示的几何体．

（Ⅰ）求证：
面
；

（Ⅱ）试探究：在图1中，
在什么位置时，能使折起后的几何体中
／／平面
，并给出证明.

19.（本小题满分12分）

设关于
的一元二次方程
.

（I）若
都是从集合
中任取的数字，求方程有实根的概率；

（II）若
是从区间[0,4]中任取的数字，
是从区间[1，4]中任取的数字，求方程有实根的概率．

20．（本小题满分12分）

已知等差数列
的公差
，它的前
项和为
，若
，且

成等比数列．

（Ⅰ）求数列
的通项公式；

（Ⅱ）设数列
的前
项和为
，求证：
．

21．（本小题满分12分）

已知椭圆
：
（
）的右焦点为
，且过点
．

（Ⅰ）求椭圆
的标准方程；

（Ⅱ）设直线
与椭圆
交于不同两点
、
，且
．若点
满足
，求
的值．

22．（本小题满分14分）

已知
.

（Ⅰ）当
时，求曲线
在点
处的切线方程；

（Ⅱ）若
在
处有极值，求
的单调递增区间；

（Ⅲ）是否存在实数
，使
在区间
的最小值是3，若存在，求出
的值；若不存在，说明理由.

2015届龙海一中——漳州实验中学高三上学期期末考

数学（文）试卷参考答案

一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分）

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



C

D

C

C

B

D

B

B

C

D

B

A



二、填空题：（本大题共4小题，每小题4分，共16分）

13．
； 14． 0

三、解答题： 17．因为向量
，函数
．

所以
…………………2分

………………………4分

（1）由
，得
．

， 或
…………………6分

， 或
，又
，
或
．

所以
在区间
上的零点是
、
． ………………………8分

（2）由已知得
从而
……………………………………10分

，
………………12分

18．解：（Ⅰ）
,………………………………2分

又
，………………………………4分

面
．………………………………5分

（Ⅱ）当点F为BC的中点时，

面
．………………………………6分

证明如下：当点F为BC的中点时，

在图（1）中，
分别是
，
的中点，

所以
，………………………………8分

即在图（2）中有
．………………………………9分

又
，
，………………………………11分

所以

面
．………………………………12分

19．解：（I）设事件A为“方程有实根”，记
为取到的一种组合，则所有的情况有：

（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4）

（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4）……………2分

一共16种且每种情况被取到的可能性相同 …………………………3分

∵关于
的一元二次方程
有实根

∴
…………………………4分

∴事件A包含的基本事件有：

（1，1），（2，1），（2，2），（3，1），（3，2），（3，3），（4，1），（4，2），

（4，3），（4，4）共10种 ………………………… 5分

∴
……… 11分

∴方程有实根的概率是
……… 12分

（第（II）题评分标准说明：画图正确得2分，求概率3分，本小题6分）

20．（Ⅰ）解：依题意，有
，即
……………2分

解得
…………………………4分

∴数列
的通项公式为
（
）．…………………………5分

（Ⅱ）证明：由（1）可得
．………………………… 6分

∴
…………………………7分

∴
………………………… 8分

∵
是递减数列，且
，

∴
．∴
………………………… 10分

∴
．………………………… 12分

21. （Ⅰ）由已知得
，又
． ∴
．

∴椭圆
的方程为
．………………………………………………３分

（Ⅱ）由
得
① ………………………４分

∵直线
与椭圆
交于不同两点
、
，∴△
，

得
．

设
，
，则
，
是方程①的两根，

则
，
．

∴
．

又由
，得
，解之
．……………………………７分

据题意知，点
为线段
的中垂线与直线
的交点．

设
的中点为
，则
，
，

?当
时，

∴此时，线段
的中垂线方程为
，即
．

令
，得
．…………………………………………………………………９分

?当
时，

∴此时，线段
的中垂线方程为
，即
．

令
，得
．………………………………………………………………11分

综上所述，