2015届龙海一中---漳州实验中学高三上学期期末考

数学科（理）试卷

（考试时间120分钟 试卷满分150分） 命题：康晓全 审题：洪小娇

一、选择题（每小题各5分, 共50分）

1．已知
为虚数单位，则
（ ）

A．
B.
C.
D.

2. “
”是“直线
与直线
平行”的（ ）

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

3. 如图，若
，
，输入
＝0.25，则输出
＝ (　 　)

（A）0.25

（B）

（C）

（D）

4.已知某个几何体的三视图如上右图所示，根据图中标出的尺寸（单位：cm），则这个几何体的体积是( )

A.
B.
C.
D.

5.已知等比数列
的公比
，且
成等差数列，则
的前8项和为 ( )A.127 B.255 C.511 D.1023

6.设
满足约束条件
若
取得最大值的最优解不唯一，则实数
的值为 （ ）

A.
或
B.
或
C.
或
D.
或

7. 函数
（其中
）的图象如图所示，为了得到
的图象，只需把
的图象上所有点 ( ) （ ）

（A） 向右平移
个单位长度 （B）向右平移
个单位长度

（C） 向左平移
个单位长度 （D）向左平移
个单位长度

8.已知函数
为
上可导函数，且对
都有
成立，则函数
，
的值域为 ( )

A.
B.
C.
D.

9.某数学爱好者设计了一个食品商标，如果在该商标所在平面内建立如图所示的平面直角坐标系
，则商标的边缘轮廓线
恰是函数
的图象，边缘轮廓线
恰是一段所对的圆心角为
的圆弧．若在图中正方形
内随机选取一点
，则点
落在商标区域内的概率等于（　 ）

A.
B.
C.
D.

10．对于定义域为[0,1]的函数
，如果同时满足以下三个条件：

①对任意的
，总有
②

③若
，
，都有
成立；

则称函数
为理想函数. 下面有三个命题：

若函数
为理想函数，则
；

函数
是理想函数；

若函数
是理想函数，假定存在
，使得
，且
，

则
；

其中正确的命题个数有（ ）

A. 0个 B.1个 C.2个 D.3个

二、填空题（每小题各4分, 共20分）

11. 设集合
，
，若
，则
________ .

12．若二项式
的展开式的常数项为
，则
。

13．观察下列等式: ·

…

照此规律, 第
个等式可为 .

14. 已知椭圆
上一点
关于原点
的对称点为
为其右焦点，若

设
且
则椭圆离心率的取值范围是　 　.

15．如图，四边形
是正方形，延长
至
，使得
，若动点
从点
出发，沿正方形的边按如下路线运动：
，其中
，则下列判断中:

① 当
为
的中点时

； ② 满足
的点
恰有三个；③
的最大值为
； ④ 若满足
的点
有且只有两个，则
。

正确判断的序号是___________。（请写出所有正确判断的序号）

三．解答题：（请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出证过程或演算步骤．共80分）

16．（本小题13分）某高校在2014年考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩，按成绩分组：第1组 [75，80)，第2组 [80，85)，第3组 [85，90)，第4组 [90，95)，第5组 [95，100]得到的频率分布直方图如图所示，

（1）分别求第3，4，5组的频率；

（2）若该校决定在笔试成绩高的第3，4，5组中用分层抽样抽取6名学生进入第二轮面试，

① 已知学生甲和学生乙的成绩均在第三组，求学生甲和学生乙不同时进入第二轮面试的概率；

② 若第三组被抽中的学生实力相当，在第二轮面试中获得优秀的概率均为
，设第三组中被抽中的学生有
名获得优秀，求
的分布列和数学期望。

17．（本小题13分）已知函数
.

（Ⅰ）求函数
的最大值，并写出
取最大值时
的取值集合；

（Ⅱ）已知
中，角A,B,C的对边分别为
若

。求实数
的取值范围。

18．（本小题13分）如图,
是边长为
的正方形，
平面
，
，
，
与平面
所成角为
.

(Ⅰ)求证：
平面
；

(Ⅱ)求二面角
的余弦值；

(Ⅲ)设点
是线段
上一个动点，试确定点

的位置，使得
平面
，并证明你的结论.

19．（本小题13分）设抛物线
的准线与
轴交于点
，焦点为
；以
为焦点，离心率为
的椭圆记作

求椭圆的标准方程；

直线
经过椭圆
的右焦点
，与抛物线
交于
两点，与椭圆
交于
两点。当以
为直径的圆经过
时，求
长。

20．（本小题14分）已知函数
，
,其中
为常数，
，且函数
和
的图象在它们与坐标轴交点处的切线互相平行．

（1）求常数
的值；

（2）若存在
使不等式
成立，求实数
的取值范围；

（3）对于函数
和
公共定义域内的任意实数
，我们把
的值称为两函数在
处的偏差．求证：函数
和
在其公共定义域内的所有偏差都大于
.

21．（本小题14分）

(1)在直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.已知点A的极坐标为
，直线
的极坐标方程为
，且点A在直线
上。

（Ⅰ）求
的值及直线
的直角坐标方程；

（Ⅱ）圆C的参数方程为
，试判断直线l与圆C的位置关系.

（2）已知不等式
的解集与关于
的不等式
的解集相等．

（Ⅰ）求实数
，
的值；

（Ⅱ）求函数
的最大值，以及取得最大值时
的值．

2015届龙海一中---漳州实验中学高三上学期期末考答案

一．A A D B B C C B C D

11.
12.
13．
（注：没写
不扣分） 14.
15. ①②③

16. 解：（1）第三组的频率为
；第四组的频率为
；

第五组的频率为
。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。3 分

（2）①设学生甲和学生乙同时进入第二轮面试为事件M：则

所以学生甲和学生乙不同时进入第二轮面试的概率
。。。8 分

②由已知得
～
，且
，
，

的分布列如下：

0

1

2

3

















的数学期望
。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。13 分

17.解（Ⅰ）

.

∴函数
的最大值为
.

当且仅当
即
，即
时取到。

所以函数最大值为2时
的取值集合为
. 。。。。。。。。。。6分

（Ⅱ）由题意，
，化简得

，
， ∴
， ∴

在
中，根据余弦定理，得
.

由
，知
，即
.∴当
时，取等号。

又由b+c>a得a<2.所以a的取值范围是[1,2 ）。 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。13分

18.(Ⅰ)证明：因为
平面
，
平面
, 所以
. 。。。。。2分

因为
是正方形，所以
，又
相交,
平面
，
平面
,从而
平面
. 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。4分

(Ⅱ)解：因为
两两垂直，所以建立空间直角 坐标系
如图所示.

因为
与平面
所成角为
， 即
，

所以
.由
可知
，
. 。。。。。。。。。。。。。。。。6分

则
，
，
，
，
，

所以
，
， ………7分

设平面
的法向量为

，则
，即
，

令
，则

. 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。8分

因为
平面
，所以
为平面
的法向量，
，

所以
. 。。。。。。。。。。。。9分

因为二面角为锐角，所以二面角
的余弦值为
. 。。。。。。。。。。10分

(Ⅲ)解：点
是线段
上一个动点，设
. 则
，

因为
平面
，所以

,

即
，解得
. 。。。。。。。。。。。。。。。。。。12分

此时，点
坐标为
，
，符合题意. 。。。。。。。。。13分

19．解：（1）椭圆方程
。。。。。。。。。。。。。。。。。4分

（2）当直线L与x轴垂直时，B1(1，
),B2(1，-
),又F1(-1,0),

此时
，所以以B1B2为直径的圆不经过F1。不满足条件。。。5 分

当直线L不与x轴垂直时，设L：y=k(x-1)

由

因为焦点在椭圆内部，所以恒有两个交点。

设B1(x1,y1)，B2（x2,y2）,则

。。。。。7 分

因为以B1B2为直径的圆经过F1，所以
，又F1(-1，0)

所以（-1-x1）(-1-x2)+y1y2=0，即（1+k2）x1x2+(1-k2)(x1+x2)+1+k2=0

所以解得
。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。10 分

由
得k2x2-(2k2+4)x+k2=0

因为直线L与抛物线有两个交点，所以

设A1(x3,y3) ，A2(x4,y4)，则

所以
。。。。。。。。。。。。。。。。。。。13 分

212

21

21.（Ⅰ）由点
在直线
上，可得

所以直线
的方程可化为

从而直线
的直角坐标方程为
。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。