东北三省三校2015年高三第一次联合模拟考试

文科数学试卷

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共150分,考试时间120分钟。考试结束

后，将本试卷和答题卡一并交回。

注意事项：

1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码

区域内。

2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、

试题卷上答题无效。

4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

第Ⅰ卷（选择题 共60分）

一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求．

１．已知集合
若
则
等于（　　）

A．1 　　　　　 B．2 　　　　　C． 3　　　　　 　 D． 1或2

２．复数
（ 　）

Ａ．
Ｂ．
Ｃ．
Ｄ．

３．
的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，则“
”是“
”的（ ）

Ａ．充分不必要条件　　Ｂ．必要不充分条件　Ｃ．充要条件　Ｄ．既不充分也不必要条件

４．向量
满足
则向量
与
的夹角为（ ）

Ａ．
　　　 Ｂ．
　　　　Ｃ．
　　　　　　 Ｄ．

５．实数
是
上的随机数，则关于
的方程
有实根的概率为（ ）

Ａ．
　 Ｂ．
　　 　Ｃ．
　　 Ｄ．

６．已知三棱锥的三视图，则该三棱锥的体积是 （ ）

A．
　　　　　　　　Ｂ．
　　

Ｃ．
　　　　　　　Ｄ．

７．椭圆
两个焦点分别是
，点
是椭圆上

任意一点，则
的取值范围是（ ）

Ａ．
Ｂ．
Ｃ．
Ｄ．

８．半径为１的球面上有四个点Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ，球心为点Ｏ，AB过点Ｏ，
,
,
, 则三棱锥
的体积为（ ）

A．
　　　　　 Ｂ．

　 Ｃ．
　　　　 Ｄ．

９． 已知数列
满足

，则

=（ ）

Ａ．
Ｂ．

Ｃ．
Ｄ．

10．执行如图所示的程序框图，要使输出的
的值小于１，

则输入的
值不能是下面的（　　）

Ａ．8 Ｂ．9

Ｃ．10 Ｄ．11

11．若函数
在区间
上为增函数，则实数
的取值范围是（ ）

Ａ．
Ｂ．
Ｃ．
Ｄ．

12．函数
的零点个数为（　　）

　　Ａ．９　　　　　Ｂ．10 Ｃ．11 Ｄ．12

第Ⅱ卷（非选择题　共90分）

本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答，第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答．

二．填空题（本大题共4小题，每小题5分．）

13．若等差数列
中，满足
，则
=_________．

14．若变量
满足约束条件
，则
的最小值为 ．

15．已知双曲线C：
，点P与双曲线C的焦点不重合．若点Ｐ关于双曲线Ｃ的上、下焦点的对称点分别为A、B，点Q在双曲线C的上支上，点P关于点Q的对称点为
，则
=____．

16．若函数
满足: （ⅰ）函数
的定义域是
； （ⅱ）对任意

有
；（ⅲ）
. 则下列命题中正确的是_____. （写出所有正确命题的序号）

①函数
是奇函数；②函数
是偶函数；③对任意

，若
，则
；④ 对任意
，有
.

三.解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17．（本题满分12分）

已知
的面积为
且满足
设
和
的夹角为
．

（Ⅰ）求
的取值范围；

（Ⅱ）求函数
的值域．

18．（本题满分12分）

空气污染，又称为大气污染，是指由于人类活动或自然过程引起某些物质进入大气中，呈现出足够的浓度，达到足够的时间，并因此危害了人体的舒适、健康和福利或环境的现象．全世界也越来越关注环境保护问题．当空气污染指数（单位：
）为
时，空气质量级别为一级，空气质量状况属于优；当空气污染指数为
时，空气质量级别为二级，空气质量状况属于良；当空气污染指数为
时，空气质量级别为三级，空气质量状况属于轻度污染；当空气污染指数为
时，空气质量级别为四级，空气质量状况属于中度污染；当空气污染指数为
时，空气质量级别为五级，空气质量状况属于重度污染；当空气污染指数为
以上时，空气质量级别为六级，空气质量状况属于严重污染．2015年１月某日某省
个监测点数据统计如下：

空气污染指数

(单位：
)











监测点个数

15

40



10



（Ⅰ）根据所给统计表和频率分布直方图中的信息求出
的值，并完成频率分布直方图；

（Ⅱ）若A市共有5个监测点，其中有3个监测点为轻度污染，２个监测点为良．从中任意选取2个监测点，事件A“其中至少有一个为良”发生的概率是多少？

19．（本题满分12分）

如图，多面体
中，底面
是菱形，

，四边形
是正方形，且

平面
.

(Ⅰ)求证:
平面
；

(Ⅱ)若
，求多面体
的体积
.

20．（本题满分12分）

在平面直角坐标系
中，已知动圆过点
，且被
轴所截得的弦长为4.

(Ⅰ) 求动圆圆心的轨迹
的方程;

(Ⅱ) 过点
分别作斜率为
的两条直线
，交
于
两点(点
异于点
),若
，且直线
与圆

相切，求△
的面积.

21．（本题满分12分）

已知实数
为常数，函数
．

（Ⅰ）若曲线
在
处的切线过点Ａ
，求实数
值；

（Ⅱ）若函数
有两个极值点
．

①求证：
；②求证：
，
．

请从下面所给的22 , 23 , 24三题中任选一题做答，并用2B铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑，按所涂题号进行评分；不涂、多涂均按所答第一题评分；多答按所答第一题评分。

请考生在第22 , 23 , 24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分, 做答时请写清题号．

22．（本题满分10分）选修4-1:几何证明选讲

如图，在
中，
，以
为直径的圆
交
于点
，点
是
边的中点，连接
交圆
于点
.

（Ⅰ）求证：
是圆
的切线；

（Ⅱ）求证：
.

23．（本题满分10分）选修4-4: 坐标系与参数方程

已知曲线
的极坐标方程是
，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为
轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线
的参数方程是
（
为参数）.

（Ⅰ）求曲线
的直角坐标方程和直线
的普通方程；

（Ⅱ）设点

，若直线
与曲线
交于
两点，且
，求实数
的值.

24．（本题满分10分）选修4-5: 不等式选讲

设函数
.

（Ⅰ）解不等式
；

（Ⅱ）若
，使得
，求实数
的取值范围.

东北三省三校2015年三校第一次联合模拟考试文科数学试题

参考答案

一、选择题

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



D

A

C

C

B

B

C

A

C

A

D

D



二．填空题

13． 4030 14．－6 15．－16 16． ②③④

三.解答题

17．（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）设
中角
的对边分别为
，

则由已知：
，
， ……4分

可得
，所以：
． ……6分

（Ⅱ）

． ……8分

，

，
．

即当
时，
；当
时，
．

所以：函数
的值域是
……12分

18．（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）

……2分

……5分

（Ⅱ）设A市空气质量状况属于轻度污染3个监测点为1,2,3, 空气质量状况属于良的2个监测点为4,5,从中任取2个的基本事件分别为

(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5)共10种， ……8分

其中事件A“其中至少有一个为良”包含的 基本事件为

(1,4),(1,5),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5)共7种， ……10分

所以事件A“其中至少有一个为良”发生的概率是
. ……12分

19．（本小题满分12分）

(Ⅰ)证明：

是菱形，
.

又
平面
，
平面
，
平面
.

……2分

又
是正方形，
.

平面
，
平面
，

平面
. ……4分

平面
，
平面
，
，

平面

平面
.

由于
平面
，知
平面
. ……6分

(Ⅱ)解：连接
，记
.

是菱形，
，且
．

由
平面
，