福州市第八中学2015届高三毕业班第六次质量检查

理科数学试题

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.把正确选项涂在答题卡的相应位置上．）

1.设
是虚数单位,复数
为纯虚数,则复数
的虚部为

A.
B.
C.
D.

2.下列命题中，真命题是

A．
，使得
B．

C．
D．
是
的充分不必要条件

3. 对于函数
若
，则函数
在区间
内

A．一定有零点 B．一定没有零点

C．可能有两个零点 D．至多有一个零点

4.二项式错误！未找到引用源。的展开式中的常数项是[来源:gkstk.Com]

A.第10项 B.第9项 C.第8项 D.第7项

5. 某几何体的三视图如图所示，其中俯视图是半圆，则该几何体的表面积为

A．

B．

C．

D．

6. 设
, 对于使
成立的所有常数
中，我们把
的最小值1叫做
的上确界. 若
，且
，则
的上确界为

A．
B．
C．
D．

7.
为如图所示的程序框图中输出的结

果，则化简
的结果是[来源:gkstk.Com]

A．

B．

C．

D．

8.设
，
是双曲线

，
的左、右两个焦点，若双曲线右支上存在一点
，使
（
为坐标原点），且
，则双曲线的离心率为

.

.

.

.

9．设
是不等式组
表示的平面区域内的任意一点，向量
，
，若
（
为实数），则
的最大值为

A．4 B．3 C．-1 D．-2

10．已知函数
，则关于
的方程
的根的个数不可能为

A．3 B．4 C．5 D．6

第Ⅱ卷（非选择题 共100分）

二、填空题:本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填在答题卡相应位置．

11. 计算定积分
____________．

12. 设
内角
的对边分别为
，且满足

则
．

13. 设等差数列
和等比数列
首项都是1，公差和公比都是2，则
_________.

14. 如图所示，记正方体
的中心为
，面
的中心为
，
的中点为
则空间四边形
在该正方体各个面的上投影可能是 .（把你认为正确命题的序号填写在答题纸上）

15.已知数列
：

中，令
，
表示集合
中元素的个数．若
（
为常数，且
，
）则
．

三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

16.（本小题满分13分）

已知向量
，记

（Ⅰ）若
，求
的值；

（Ⅱ）将函数
的图象向右平移
个单位得到
的图象，若函数
在
上有零点，求实数k的取值范围.

17.（本小题满分13分）

某工厂生产A，B两种型号的玩具，其质量按测试指标划分为：指标大于或等于82为正品，小于82为次品．现随机抽取这两种玩具各100件进行检测，检测结果统计如下：

测试指标

[70,76)

[76,82)

[82,88)

[88,94)

[94,100)



玩具A

8

12

40

32

8



玩具B

7

18[来源:gkstk.Com]

40

29

6



( I )试分别估计玩具A、玩具B为正品的概率；

(Ⅱ)生产一件玩具A，若是正品可盈利40元，若是次品则亏损5元；生产一件玩具B，若是正品可盈利50元，若是次品则亏损10元．在(I)的前提下，

(i)记X为生产1件玩具A和1件玩具B所得的总利润，求随机变量X的分布列和数学期望；

(ii)求生产5件玩具B所获得的利润不少于140元的概率．

18．（本小题满分13分）

已知四棱锥
中，
，底面
是边长为
的菱形，
，
．

（Ⅰ）求证：
；

（Ⅱ）设
与
交于点
，
为
中点，若二面角
的正切值为
，求
的值．

19. （本小题满分13分）

已知A(-2，0)，B(2，0)为椭圆C的左、右顶点，F为其右焦点，P是椭圆C上异于A，B的动点，且
APB面积的最大值为2
．

(I)求椭圆C的方程及离心率；

(II)直线AP与椭圆在点B处的切线交于点D，当直线AP绕点A转动时，试判断以BD为直径的圆与直线PF的位置关系，并加以证明．

20.（本小题满分14分）

已知函数
其中
为常数，函数
和
的图象在它们与坐标轴交点的切线互相平行.

（Ⅰ）求
的值；

（Ⅱ）求函数
的单调区间；

（Ⅲ）若不等式
在区间
上恒成立，求实数
的取值范围.[来源:学优高考网]

21．本题有（1）、（2）、（3）三个选答题，每题7分，请考生任选2题作答，满分14分．如果多做，则按所做的前两题记分．作答时，先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中．

（1）（本小题满分7分）选修4－2：矩阵与变换

已知二阶矩阵
有特征值λ1=4及属于特征值4的一个特征向量
并有特征值
及属于特征值－1的一个特征向量
，

（Ⅰ ）求矩阵
；（Ⅱ ）求
.

（2）（本小题满分7分) 选修4—4：极坐标与参数方程

已知曲线
的极坐标方程是
．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为
轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线
的参数方程是
是参数
.

（Ⅰ）写出曲线
的参数方程；

（Ⅱ）若直线
与曲线
相交于
、
两点，且
，求直线
的倾斜角
的值．

（3）（本小题满分7分) 选修4—5：不等式选讲

已知关于
的不等式：
的整数解有且仅有一个值为2.

（Ⅰ）求整数
的值;

（Ⅱ）已知
，若
，求
的最大值

稿 纸

福州八中2014—2015学年高三毕业班第六次质量检查

数学(理)试卷参考答案及评分标准

17.解：（Ⅰ）玩具A为正品的概率约为
． ………………1分

玩具B为正品的概率约为
． ………………2分

（Ⅱ）解：（ⅰ）随机变量
的所有取值为
． ………………3分

　　　
；
；

；
． ……………7分

18．解：（Ⅰ） 因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥BD………………2分

又ABCD为菱形，所以AC⊥BD,所以BD⊥平面PAC………………4分

从而平面PBD⊥平面PAC． ……………6分

（Ⅱ）方法1． 过O作OH⊥PM交PM于H，连HD

因为DO⊥平面PAC，可以推出DH⊥PM,所以∠OHD为O-PM-D的平面角………………8分

又
，且
………………10分

从而
………………12分

所以
，即
． ………………………13分

19. （Ⅰ）由题意可设椭圆
的方程为
，
．

由题意知


解得
，
．………………3分

故椭圆
的方程为
，离心率为
．………………5分

20.解：（Ⅰ）
与坐标轴交点为
，
，……………1分

与坐标轴交点为
，
……………2分

解得
，又
，故
……………4分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知
，

…………5分[来源:gkstk.Com]

令
，显然函数
在区间
上单调递减，且
………6分

当
时，
，
，
在
上单调递增

当
时，
，
，
在
上单调递减………8分

故
的单调递增区间为
，单调递减区间为
. ……………9分

（2）原不等式等价于：
在区间
上恒成立.

设

则
…………10分

令

…………11分

（2）（本小题满分7分) 选修4—4：极坐标与参数方程

解: （Ⅰ）由
得：
，
， ………………2分

即
，

所以曲线
的参数方程：
（
为参数） ………………3分

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