沈阳铁路实验中学2015届高三下学期初考试

数学（文）试题

一 选择题 （本小题满分60分）

1．已知集合
，
，则集合
为

A．
B．
C．
D．

2．“a = 1”是“复数
（
，i为虚数单位）是纯虚数”的

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

3．以下有关线性回归分析的说法不正确的是

A．通过最小二乘法得到的线性回归直线经过样本的中心

B．用最小二乘法求回归直线方程，是寻求使
最小的a,b的值

C．相关系数r越小，表明两个变量相关性越弱

D．
越接近1，表明回归的效果越好

4．将一枚质地均匀的硬币连掷4次，出现“至少两次正面向上”的概率为

A．
B．
C．
D．

5．已知为
等比数列，Sn是它的前n项和。若

，且a4与a7的等差中项为
，则
的值（ ）

A．35 B．33 C．31 D．29

6．将函数y=sin2x的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，所的图象的函数解析式是

A．
B．

C．
D．

7．某几何体的三视图如图，则该几何体的表面积为

A．
B．
C．
D．

8．已知圆M过定点
且圆心M在抛物线
上运动，若y轴截圆M所得的弦长为AB，则弦长
等于

A．4 B．3 C．2 D．与点M位置有关的值

9．当a > 0时，函数
的图象大致是

10．已知椭圆
与双曲线
有相同的焦点
和
，若c是a与m的等比中项，n2是2m2与c2的等差中项，则椭圆的离心率为（ ） A．
B．
C．
D．

11．如图，在等腰梯形ABCD中，AB＝2DC＝2，∠DAB＝60°，E为AB的中

点．将△ADE与△BEC分别沿ED、EC向上折起，使A、B重合于点P，则三棱锥P-DCE的外接球的体积为( )

A．
B．
C．
D．

12．已知函数
的图象过原点，且在原点处的切线斜率是-3，则不等式组
所确定的平面区域在
内的面积为

A．
B．
C．
D．

二 填空题（本小题满分20分）

13．执行如图所示的程序框图，则输出结果S的值为__________。

14．直三棱柱
的各顶点都在同一球面上，若
,
，则此球的表面积等于 。

15．平面上三个向量
、
、
，满足
，
，
，
，则
的最大值是__________。

16．已知函数
是定义在R上的偶函数，当
时，
，若函数在R上有且仅有4个零点，则a的取值范围是__________。

三 解答题（本小题满分70分）

17．在
中，

（Ⅰ）求
的值；（Ⅱ）求
的值.

23．节日期间，高速公路车辆较多，某调查公司在一服务区从七座以下小型汽车中按进服务区的顺序，随机抽取第一辆汽车后，每间隔50辆就抽取一辆的抽样方法抽取40名驾驶员进行询问调查，将他们在某段高速公路的车速（
）分成六段
，
，
，
，
，
后得到如下图的频率分布直方图．

（1）请直接回答这种抽样方法是什么抽样方法？并估计出这40辆车速的中位数；

（2）设车速在
的车辆为
，
， ，
（
为车速在
上的频数），车速在
的车辆为
，
， ，
（
为车速在
上的频数），从车速在
的车辆中任意抽取
辆共有几种情况？请列举出所有的情况，并求抽取的
辆车的车速都在
上的概率．

19．已知四棱锥
的底面为菱形，且
，

,
为
的中点.

（Ⅰ）求证：

平面
；（Ⅱ）求点
到面
的距离．

20．（本小题满分12分）已知椭圆C:
过点

，离心率为
，点
分别为其左右焦点.

（1）求椭圆C的标准方程;

（2）若
上存在两个点
，椭圆上有两个点
满足，
三点共线，
三点共线，且
.求四边形
面积的最小值.

21．已知函数
，
。

（1）若对任意的实数a，函数
与
的图象在x = x0处的切线斜率总想等，求x0的值；

（2）若a > 0，对任意x > 0不等式
恒成立，求实数a的取值范围。

22．如图，AB为⊙O的直径，过点B作⊙O的切线BC，OC交⊙O于点E，AE的延长线交BC于点D。

（1）求证：CE2 = CD · CB；

（2）若AB = BC = 2，求CE和CD的长。

23．选修4-4：坐标系与参数方程

在直角坐标系xOy 中，曲线C1的参数方程为:
（
为参数），M是C1上的动点，P点满足
,P点的轨迹为曲线C2．

（1）求C2的方程;

（2）在以O为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线
与C1的异于极点的交点为A，与C2的异于极点的交点为B，求
．

24．设函数
。

（1）求不等式
的解集；

（2）若存在x使不等式
成立，求实数a的取值范围。

参考答案

1．B

【解析】

2．C

【解析】

试题分析：因为复数
（
，i为虚数单位）是纯虚数”则可知
,a=-1舍去，故可知条件和结论表示的集合相等，因此可知条件是结论成立的充要条件，故选C.

考点：复数的概念

点评：解决的关键是理解纯虚数的定义，实部为零，虚部不为零，属于基础题。

3．C

【解析】

试题分析：对于A．通过最小二乘法得到的线性回归直线经过样本的中心
，显然成立。

对于B．用最小二乘法求回归直线方程，是寻求使
最小的a,b的值，符合定义。

对于C．相关系数r越小，表明两个变量相关性越弱，应该是绝对值越小，相关性越弱，故错误。

对于D．
越接近1，表明回归的效果越好，成立，故选C.

考点：线性回归方程

点评：解决的关键是利用最小二乘法来求解回归的效果，属于基础题。

4．D

【解析】

试题分析：由于将一枚质地均匀的硬币连掷4次，所有的情况有
，那么“至少两次正面向上”情况有（反 反正 正）（正 正 反 反）（正 反 正 反）（正 反反正）（正 正 正 反）（反 正 正 正）（正 反 正 正）（正 正 反 正）（正 正 正 反）（正 正 正正），共有11种情况，因此可知其概率为
，选D.

考点：古典概型

点评：解决的关键是理解试验的基本事件空间，然后结合古典概型概率来计算，属于基础题。

5．C

【解析】

试题分析：：由
,可得 4 a1?a7=a1，解得 a7=
再由a4与a7的等差中项为

，可得
，解得 a4=2．设公比为q，则
=2?q3，解得 q=
，故 a1=16，S5=31，故选C．

考点：等比数列及等差数列的性质

点评：此题考查学生掌握等比数列及等差数列的性质，灵活运用等比数列的通项公式及前n项和公式化简求值，是一道中档题．

6．B

【解析】

试题分析：根据题意，由于将函数y=sin2x的图象向左平移个单位得到解析式为
,再向上平移1个单位得到为
,故选B.

考点：三角函数图像变换

点评：本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换和三角函数的倍角公式，属基础题．

7．B

【解析】

试题分析：根据题意可知该三视图还原为几何体为长方体截取了两个四棱锥剩下的部分，因为底面的边长为2的正方形，高为1，侧面是梯形，上底面积为1，下底面积为4，那么侧面积为上底为1，下底为2，高为
的两个等腰梯形，加上矩形2的面积即为所求，故结果为
，选B.

考点：三视图的运用

点评：解决的关键是根据三视图还原几何体，通过几何体的表面积公式来得到求解，属于基础题。

8．A

【解析】

试题分析：设圆心坐标为（
,a）,由于过定点（2，1），则其半径为
，那么可知其圆的方程为
,令x=0,可得关于x的一元二次方程，结合韦达定理可知弦长为
=4，故选A.

考点：直线与圆锥曲线的综合应用

点评：本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到轨迹方程的求法及直线与圆锥曲线的相关知识，解题时要注意合理地进行等价转化．属于中档题。

9．B

【解析】

试题分析：根据题意，由于当a > 0时，函数
，那么可知当x在原点右侧附近时，函数值为负数，同时求解导数可知，
,，并且不具有奇偶性排除C,然后根据当x趋近于负无穷大时，趋近于零，排除D，然后在选项A,B中看，由于x趋近于正无穷大时，函数值为正，排除A，故选B.

考点：函数的图像

点评：解决的关键是根据函数的值域的范围，通过特殊值法来求解，属于基础题。

10．A

【解析】

试题分析：根据是a、m的等比中项可得c2=am，根据椭圆与双曲线有相同的焦点可得a2+b2=m2+n2=c，根据n2是2m2与c2的等差中项可得2n2=2m2+c2，联立方程即可求得a和c的关系，进而求得离心率e．

解：根据题意，
，故选A.

考点：椭圆的几何性质

点评：本题主要考查了椭圆的性质，属基础题．

11．C

【解析】

试题分析：易证所得三棱锥为正四面体，它的棱长为1，

故外接球半径为
，外接球的体积为
，故选C.

故选C．

考点：球内接多面体；球的体积和表面积．

点评：本题考查球的内接多面体，球的体积等知识，考查逻辑思维能力，是中档题．

13．

【解析】根据题意，由于起始量为s=0,p=1,i=1,则第一次循环得到：s=1,i=2,p=2; 第二次循环得到：s=1+
,i=3,p=2
; 第三次循环得到：s=1+
,i=4,p=2

=24 ;

第四次循环得到：s=1+
,i=5，p=2


=120 ;此时输出s的值为
，故答案为
。

试题分析：

考点：程序框图

点评：本题为程序框图题，考查对循环结构的理解和认识，按照循环结构运算后得出结果．属于基础题

14．

【解析】在
中
,
,可得
,由正弦定理,可得
外接圆半径r=2,设此圆圆心为
，球心为
，在
中，易得球半径
，故此球的表面积为
.

15．2

【解析】

试题分析：根据题意，平面上三个向量
、
、
，满足
，
，
，
，则说明
，则可知
故答案为2.

考点：向量的数量积

点评：解决的关键是利用向量的夹角和数量积公式，转化为已知向量的关系式来求解，属于基础题。

16．

【解析】

试题分析：根据题意，由于函数
是定义在R上的偶函数，当
时，
，那么可知当满足函数在R上有且仅有4个零点则可知
有四个不同的交点，只需要考虑在y轴右侧有两个交点即可，则可知，当相切时有一个，则此时的切点的斜率为a,即
,那么当x>0时，则可值只有实数a的取值范围是
，但是端点值不能取到，故答案为
。

考点：函数的零点与方程的关系

点评：本题考查了函数的零点与方程的关系，函数的零点就是使得函数y=f（x）的函数值为0时的实数x的值．函数的零点y=f（x）就是方程f（x）=0的实数根，从图象上看，函数的零点y=f（x）就是它的图象与x轴交点的横坐标．因此，函数的零点的研究就可转化为相应函数图象的交点的问题，数形结合的思想得到了很好的体现

17．（Ⅰ）
=
；（Ⅱ）
．

【解析】

试题分析：（Ⅰ）在
中，
，可得
，已知两边和其中一边的对角，求另一角，显然符合利用正弦定理来解，由于
，求的是小边所对的角，故只有一解；（Ⅱ）求
的值，由于
，有题设条件可知，
，
，只需求出
的值即可，由已知
，
，
，可考虑利用余弦定理
来求，从而求出
的值．

试题解析：（Ⅰ）易得
=
，

（Ⅱ）在
中，
,
， 可得
，
=
=
.

考点：解三角形，向量数量级的运算．

18．23．（1）系统抽样，
；（2）

【解析】

试题分析：（1）系统抽样的方法是每间隔一个相同的长度，抽取一个样本.所以本小题符合系统抽样的方法.通过直方图计算中位数，是指直方图中从左到右直方图的面积为二分之一这条分界线所对的值，通过运算可求得中位数的估算值.

（2）由于车速在
的车辆频率为0.05，车速在
的车辆的频率为0.1.所以