甘肃省部分普通高中2015届高三2月第一次联考

数学 试题（理科）

命题学校：嘉峪关市酒钢三中

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分,总分150分,考试时间120分钟。

第Ⅰ卷（选择题,共6 0分）

一.选择题（本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.）

1.设集合
，集合
, 则
（ ）

A．
B．
C．
D．

2.下面是关于复数
的四个命题:

:
,


的共轭复数为

的虚部为

其中真命题为( )

A．
B．
C．
D．

3.已知平面向量
的夹角为
，
（ ）

A．
B．
C．
D．

4.下列推断错误的是( )

A.命题“若
则
”的逆否命题为“若
则
”

B.命题
存在
，使得
，则非
任意
，都有

C.若
且
为假命题，则
均为假命题

D.“
”是“
”的充分不必要条件

5.若一个底面为正三角形、侧棱与底面垂直的棱柱的三视图如下图所示，则这个棱柱的体积为（ ）

A．
B．
C．
D．

6.等比数列
中，
，则数列
的前8项和等于（ ）

A．
B．
C．
D．

7.若实数
满足不等式组
则
的最大值是（ ）

A．
B．
C．
D．

8.抛物线
在第一象限内图象上一点
处的切线与
轴交点的横坐标记

为
，其中
，若
，则
（ ）

A．
B．
C．
D．

9.定义行列式运算：
.若将函数
的图象向左平移

个单位后，所得图象对应的函数为奇函数，则
的最小值是（ ）

A．
B．
C．
D．

10.设
是一个正整数，
的展开式中第四项的系数为
，记函数
与
的图像所围成的阴影部分为
，任取
,则点
恰好落在阴影区域内的概率为（ ）

A．
B．

C．
D．

11.已知
、
是双曲线
的上、下焦点，点
关于渐近线的对称点恰好落在以
为圆心，
为半径的圆上，则双曲线的离心率为( )

A．
B．
C．
D．

12.已知实数
满足
其中
是自然对数的底数,

则
的最小值为（ ）

A．
B．
C．
D．

第Ⅱ卷（非选择题,共90分）

二.填空题（本大题共4个小题, 每小题5分,共20分,请把正确的答案填写在各小题的横线上.）

13．定义某种运算
，
的运算原理如右图：

则式子
_________.

14.正四棱锥
的五个顶点在同一球面上，若正四棱锥的底面边长是
，侧棱长为
，则此球的表面积___________.

15.从某校数学竞赛小组的
名成员中选
人参加省级数学竞赛，则甲、乙
人至少有
人入选，而丙没有入选的不同选法的种数为 （用数字作答）.

16.在平面直角坐标系
中,圆
的方程为
，若直线
上至少存在一点,使得以该点为圆心,半径为
的圆与圆
有公共点,则
的最小值是____.

三、解答题（本大题共6个小题,共70分,解答应写出文字说明、证明或演算步骤.）

17.(本题满12分)

在
中，角
的对边分别为
且

(1)求
的值；

(2)若
，且
，求
的值.

18.（本小题满分12分）

甲乙两人进行围棋比赛，约定每局胜者得1分，负者得
分，比赛进行到有一人比对方多
分或打满
局时停止．设甲在每局中获胜的概率

，且各局胜负相互独立．已知第二局比赛结束时比赛停止的概率为
．

（1）求
的值；

（2）设
表示比赛停止时已比赛的局数，求随机变量
的分布列和数学期望
.

19.（本题满分12分）

己知斜三棱柱
的底面是边长为
的正三角

形，侧面
为菱形，
，平面

平面
，
是
的中点．

（1）求证：

；

（2）求二面角
的余弦值．

20.（本题满分12分）已知椭圆
的对称中心为原点
，焦点在
轴上，左右焦点分别为
和
，且
，点
在该椭圆上．

（1）求椭圆
的方程；

（2）过
的直线
与椭圆
相交于
两点，若
的面积为
，求以
为圆心且与直线
相切圆的方程．

21.（本小题满分12分）

已知函数

（1）当
时，求
的单调递减区间；

（2）若当
时，
恒成立，求
的取值范围；

（3）求证：

请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.

22．（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲

如图所示,
为圆
的切线,
为切点,

，

的角平分线与
和圆
分别交于点
和
.

（1）求证

（2）求
的值.

23．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程

在直角坐标系
中，圆
的参数方程
为参数）．以
为极点，
轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．

（1）求圆
的极坐标方程；

（2）直线
的极坐标方程是
，射线
与圆
的交点为
，与直线
的交点为
，求线段
的长．

24．(本小题满分l0分)选修4—5：不等式选讲

已知函数

（1）当
时，解不等式
；

（2）若存在
，使得，
成立，求实数
的取值范围．

2015年2月甘肃省河西五市部分普通高中高三第一次联考

数学试题答案（理科）

一、选择题：1.A 2.C 3.D 4.C 5.B 6.A 7.D 8.B 9.A 10.C 11.C 12.B

二、填空题：13. 14 14.
15. 49 16.

三、解答题

17【解析】：（I）由正弦定理得
，

因此
…………6分

（II）解：由
,可得
，

所以a＝c＝ ----------12分

18. 解：（Ⅰ）依题意，当甲连胜
局或乙连胜
局时，第二局比赛结束时比赛结束．

有
． 解得
或
．

，
． ………………………………5分

（Ⅱ）依题意知，依题意知，
的所有可能值为2，4，6．………………6分

设每两局比赛为一轮，则该轮结束时比赛停止的概率为
．若该轮结束时比赛还将继续，则甲、乙在该轮中必是各得一分，此时，该轮比赛结果对下轮比赛是否停止没有影响．

从而有
，
，
． 10分

随机变量
的分布列为：

2

4

6



P









则
……………………12分

19 【解析】：（Ⅰ）证明：方法一

取
的中点
,连结
，
,由题意知

．

又因为平面
平面
， 所以
平面
．………………2分

因为
平面
所以

因为 四边形
为菱形，所以

又因为
∥
, 所以

所以
平面
………………4分

又
平面
， 所以
．…6分

方法二

取
的中点
,连结
，
, 由题意知
，
.

又因为 平面
平面
，所以
平面

以
为原点，建立如图所示的空间直角坐标系
. ……………………2分

则
,
,
，
,
，

.
……………………4分

因为
，所以
……………………6分

（Ⅱ）取
的中点
,连结
，
, 由题意知
，
.

又因为 平面
平面
，所以
平面

以
为原点，建立如图所示的空间直角坐标系
. ……………………7分

则
,
,
，
,
,

.

设平面