常德市第一中学2015届高三第七次月考文科数学试题

(时量：120分钟 满分：150分) 命题人：彭大华 审题人：何才富

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分. 每小题只有一个选项符合题目要求）

1.设命题
，则
为（ ）

A.
B.

C.
D.

2.已知
是实数，且
也是实数，则
等于（ ）

A. 2 B.
C.1 D.

3.如右图是某几何体的三视图（正视图与侧视图一样,上面是半径为1的半圆，下面是边长为2的正方形），则该几何体的体积是（ ）

A．
B.

C.
D.

4. “
”是“函数
在区间［2015，＋∞）上为增函数”的（ ）

A．充分不必要条件　　B. 必要不充分条件

C. 充要条件　　　　　D. 既不充分也不必要条件

5. 已知函数
是偶函数，则
等于（ ）

A.
B.
C.
D. 1

6． 已知等比数列{
}的前
项和为
，且
（
），则实数
的值为（ ）

A．
B.1 C.0 D.

7.已知正方体
的棱长为2，
分别是棱
，
的中点，则直线
被该正方体的外接球所截得的线段长为（ ）

A.
B.
C.
D.

8.已知关于
的不等式
在
上恒成立，则实数
的最小值为（ ）

A. 1 B. 2 C.
D.

9.已知直线
：
与圆C:
相交于相异两点
、
，点
是坐标原点，且满足
,则实数
的取值范围是（ ）

A.
B.
C.
D.

10.已知函数
有3个不同的零点（其中
为自然对数的底数），则实数
的取值范围是（ ）

A.
B.
C.
D.

二、填空题 （共25分）

11.已知向量
与
垂直，则
=

12.如果执行右边程序框图，那么输出的数S=

13.在平面直角坐标系中，已知曲线
（
为参数），在以原点为极点，
轴的正半轴为极轴建立的极坐标系上有曲线
，设点A，B分别在曲线
、
上，则
的最大值为

14.已知O为坐标原点，双曲线
－
＝1（
）的右焦点为F，直线

与双曲线的一条渐近线交于点A，且△OAF的面积为
，则该双曲线的两条渐近线的夹角大小为

15.设函数
的定义域为
,集合
，若
,则称函数
为定义域
内的“任性函数”.（1）若函数
是定义域
内的“任性函数”，则实数
的取值范围是 ；（2）已知
且
，
，则函数
是定义域
内的“任性函数”的概率为 .

三、解答题 （共75分）

16. （本题12分）已知函数

（1）求函数
的最小正周期；

（2）设△
的内角
、
、
所对的边记作
，且满足
，
，
,求△
的面积.

17. （本题12分）某高中学校共有学生3000名，各年级的男、女生人数如下表：（其中高三学生具体男、女生人数未统计出，设为
、
名）

高一

高二

高三



男生

588

520





女生

612

480





（1）若用分层抽样的方法在该校所有学生中抽取45名，则应在高三年级抽取多少名学生？（2）已知该校高三年级的男女生人数都不少于395名. 并且规定如果“一个年级的男女生人数相差不超过6（即男女生人数之差的绝对值不大于6）”则称该年级为“性别平衡年级”，求该校高三年级为“性别平衡年级”的概率.

18．（本题12分）如图，在三棱锥A-BCD中，底面BCD是边长为2的等边三角形，侧棱AB=AD=
,AC=2，O、E、F分别是BD、BC、AC的中点.

(1)求证：EF∥平面ABD；[来源:学优高考网]

（2）求证：AO⊥平面BCD；

（3）求异面直线AB与CD所成角的余弦值.

[来源:gkstk.Com]

19．（本题13分）已知数列
中，
，
，当
时，
.

(1)求证
为等比数列，并求数列
的通项公式；

（2）若
若

，
，试求实数
、
的取值范围.

20. （本题13分）若抛物线
:
的准线为
，椭圆
:
的一个焦点与抛物线
的焦点重合，且以原点为圆心，椭圆
的短半轴长为半径的圆与直线
相切.

（1）求椭圆
的离心率；

（2）若
为坐标原点，过点（2，0）的直线
与椭圆
相交于不同两点A、B，且椭圆
上一点
满足
，求实数
的取值范围.

21. （本题13分）已知函数
，其中
为实数.

（1）求函数
的极大值点和极小值点；

（2）已知函数
的图象在
处的切线与
轴平行，
.且对任意
，存在
，使得
，求实数
的最小值（其中
为自然对数的底数）.

【答案请写在“答题卷”上】

常德一中2015届高三第七次月考 文 科 数 学（参考答案）

二、填空题 （共25分）

11.
. 12. 2550. 13. 8. 14.
.[来源:gkstk.Com]

15.（1）
（2）

（15题解析）：（1）
，可知
在
上递减，在
上递增，故应
，函数
的值域为
，由已知应

即
；

（2）当
时，函数
的值域为
，应
；同理当
时，有

，看做线性规划问题，对应区域设为面积
=1，而
且
，
对应的区域为
，故
.

三、解答题 （共75分）

16. 解析：（1）

故函数
的最小正周期为
-------6分

(2)由

而
,故
， -------10分

故△
的面积为
-------12分

17. 解析：（1）易知高三年级有3000-（588+612+520+480）=800名学生，

用分层抽样的方法应抽取：
名； -------6分

（2）由已知
，
，
，故数对
的取值情况有：

（395,405）、（396，404）、（397,403）、（398,402）、（399,401）、（400,400）、（401,399）、（402，398）、（403,397）、（404,396）、（405,395），共11对；其中满足“男女生人数之差的绝对值不大于6”的有（397,403）、（398,402）、（399,401）、（400,400）、（401,399）、（402，398）、（403,397）共7对.

故
为所求. -------12分

18． 解析：（1）先证EF∥AB； -------3分

（2）易知AO⊥BD① 又AO=1，AC=2，OC=
故
,故AO⊥OC②

由①②得AO⊥平面BCD； -------7分

（3）连接OE，可知∠OEF（或其补角）为所求

由（1）知，在Rt△AOC中，OF=
AC=1，又EF=
AB=
,OE=
DC=1

在△EOF中，由余弦定理得到：

cos∠OEF=
为所求. -------12分

19．解析：（1）

故
为等比数列，公比为
，首项

故
.

则有
，
，……，

累加得到

，

故
-------6分

（2）若
则
，故
=
-------9分

而
随
的增大而增大，
，

由已知应有
，
，即
，
-------13分

20. 解：（1）由已知，抛物线
的焦点为（1,0） -------2分

故椭圆
中，
，
，
-------4分

故离心率为
. -------5分

(2)由已知，直线
的斜率显然存在，设其方程为
，联立椭圆方程
得
.（*）由
得

设
，
，
则有：

，
-------7分

由已知
，得

，

将点
代入椭圆得

得到
-------9分

故
，故
为所求. -------13分

21. 解析：[来源:学优高考网gkstk]

（1）
,
-------2分

①若
，则

当
，即
时，

或
；

的单调增区间为
和
，减区间为

此时
的极大值点为1，极小值点为
；

当
，即
时，同理，此时
的极大值点为
，极小值点为1；

当
时，没有极值点；

②若
，则

；

此时
的极大值点为1，没有极小值点.

综上，若
，则
的极大值点为1，没有极小值点；

若
，则
的极大值点为1，极小值点为
；

若
，则没有极值点；[来源:gkstk.Com]

若
时，则
的极大值点为
，极小值点为1. -------6分

(2)易知，
，