2015届高三第一次联考数学(理科)试卷

命题人：吉水中学 周湖平 吉安县中 曾广述

一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）

1．已知集合
，集合
，则
（ ）

A．［-1，0］ B．［0，1］ C．［0，2］ D．［-1，1］

2．已知
，若Z为实数，则正整数n的最小值为（ ）

A．2 B．3 C．4 D．5

3．设
（ ）

A．
B．
C．
D．

4．下列命题正确的个数有（ ）

（1）存在
，使得

（2）“
”是“
”的充要条件

（3）若
，则

（4）若函数
在
有极值
，

则

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

5．已知某种程序框图如图所示，则执行该程序后输出的结果是（ ）

A．
B．

C．
D．

6．在集合
的所有非空子集中，任取一个集合
，恰好满足条件“若
，则
”的概率是（ ）

A．
B．
C．
D．

7．已知下面正三棱柱的俯视图如右图所示，则这个三棱柱外接球的体积为（ ）

A．28
B．
C．
D．

8．向边长为2米的正方形木框ABCD内随机投掷一粒绿豆，记绿豆落在P点，则

∠DPC∈(0，
)的概率为（ ）

A． 1－
B．1－
C．
D．

9．双曲线C的左、右焦点分别为
恰 为抛物线
的焦点，设双曲线C与该抛物线的一个交点为A，若
是以A
为底边的等腰三角形，则双曲线C的离心率为（ ）

A．
B．
C．
D．

10．若非零向量
满足
，则（ ）

A．
B．
C．
D．

11．已知函数
有4个零点
，且
，则

（ ）

A．0 B．1 C．2 D．32

12．已知数列
是等差数列，且
，
，
，则
的取值范围为（ ）

A．
B．
C．
D．

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13．使
的展开式中系数大于200的项共有　　　项.　

14．设椭圆
的左焦点为
，右焦点为
,以
为直径的圆与椭圆在
轴上方部分交于点
，则
= .

15．在
中，内角A、B、C的对边分别是
，若
，且

，则
_____________。

16. 气象意义上从春季进入夏季的标志为“连续5天的平均温度均不低于22
”，现有甲、乙、丙三地连续5天的日平均温度的记录数据（记录数据都是正整数）

（1）甲地：5个数据的中位数为24，众数为22

（2）乙地：5个数据的中位数为27，总体均值为24

（3）丙地：5个数据中有一个数据是32，总体均值为26，总体方差为10.8，则肯定进入夏季的地区是　　　　　.

三、解答题（本大题共5小题，每小题12分，共60分，解答应写出文明说明、证明过程或演算步骤。）

17.已知
，
，其中
，若函数
，且
的对称中心到
对称轴的最近距离不小于
。

（1）求
的取值范围。

（2）在
中，
分别是角A、B、C的对边，且
，当
取最大值时，
，求
的面积。

18．某工厂生产A、B两种型号的玩具，其质量按测试指标划分为：指标大于或等于83为正品，小于83为次品，现随机取这两种玩具进行检测，检测结果统计如下：

测试指标

［70，76)

［76，83)

［83，88)

［88，94)

［94，100)



玩具A（件）

8

12

40

32

8



玩具B（件）

7

18

40

29

6



（1）试分别估计玩具A为正品的概率和玩具B为正品的概率；

（2）生产1件玩具A，若是正品可盈利40元，若是次品则亏损5元；生产1件玩具B，若是正品可盈利50元，若是次品则亏损10元，在（1）的前提下，

（i）记
为生产1件玩具A和1件玩具B所得的总利润，求随机变量
的分布列和数学期望；

（ii）求生产5件玩具B所获得的利润不少于140元的概率.

19.如图，在
中，
，
，点
在线段
上，且
平分
，将
沿
折成二面角
（点B与S重合），且
.

（1）求证：平面
平面
；

（2）求二面角
的正弦值.

20．在平面直角坐标系xOy中，椭圆E的中心为原点，
分别为E的左、右焦点，过F1的直线l交E于A、B两点，且
。

（1）求椭圆E的方程；

（2）过圆O：
上任意一点P作椭圆E的两条切线，若切线斜率都存在，试探究这两条切线斜率之间的关系。

21．已知函数

（1）当a=1时，求
在点
处的切线方程，判断切线与
图象的公共点个数，并说明理由；

（2）若
有两个不同的零点
，求证：
.

四、选做题（请考生从22、23、24三题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑，共10分）

22．如图，已知AD为圆O的直 径，直线BA与圆O相切于点A，直线OB与弦AC垂直并相交于点G，与弧AC相交于M，连接DC，AB=10，AC=12

（1）求证：BA
DC=GC
AD　；　　　　　　　　　　　　　　

（2）求BM.

23．在直角坐标系
中，以原点O为极点，以
轴正半轴为极轴，与直角坐标系
取相同的长度单位，建立极坐标系，已知点P的极坐标为
，直线
的极坐标方程为
cos
=a，且点P在直线
上。

（1）求a的值及直线
的直角坐标方程；

（2）设曲线C的参数方程
(
为参数)，求曲线C上的点到直线
的最大值.

24．已知关于
的不等式

（1）当
，求此不等式的解集；

（2）若对任意的
，不等式
恒成立，求实数
的取值范围.

2015届高三第一次联考数学试卷(理科)答题卡

一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



答案



























二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13．___________________ 14．__________________

15．___________________ 16．__________________

三、解答题（共70分）

17.（12分）

18.（12分）

19.（12分）

20.（12分）

21.（12分）

选做题（22、23、24中选一题做）（10分）

22. □ 23. □ 24. □

 2015届高三第一次联考数学（理科）答案

1-6 B C D B D C

7-12 D A A D B B

13. 2 14.
15.
16. 甲和丙

17.

由余弦定理得：

………………12分

18、（1）估计玩具A为正品的概率为
……1分

估计玩具B为正品的概率为
……2分

（2）①随机变量
的所有可能取值为90，45，30，
。

……6分

所以，随机变量
的分布列为：

90

45

30





P












……8分

②设生产的5件玩具B中正品有
件，则次品有(
)件，依题意得
解得
，所以
或
，设“生产5件玩具B所获得利润不小于140元”为事件C，则
。……12分

19. 解：（1）过点S作SH
CP于H，连AH，则

，又

又
即

又

平面ACP，
平面SPC平面APC ……6分

（2）方法一：以H为原点建立如图所示空间直角坐标系，则
.

,
,

,设平面SPC与平面SCA的法向量分别为
,则显然
,计算易得
.设二面角
的大小为
,则
.

……12分

方法二：过H作
交AC于点M,则
平面SCP,过H作
于点N,连接MN,则
为二面角
的平面角,又

. ……12分

20．解：（1）设椭圆E的方和是

知

…………………………………………………………5分

（2）两切线互相垂直………………………………………………………6分

设点
且与椭圆E相切的切线
的方程为

联立

设满足题意的切线的斜率为k1、k2，则

两条切线相互垂直。………………………………………………12分

21、解: （1）当
时，
，

，又

切线方程为
……2分

切线
与
的图象只有一个交点，证明如下：

当
时，
，
单调递增 ；当
时，
，
单调递减，所以