选择题（每小题5分，共50分）

1．复数
，
，则复数
的虚部为（ ）

A．2 B．
C．
D．

2．已知全集
，则正确表示集合
和
的关系的韦恩（Venn）图是（ ）

3．2000辆汽车通过某一段公路时的时速的频率分布直方图如右图所示，时速在
的汽车大约有（ ）

A．300辆 B．400辆

C．600辆 D．800辆

4．“
”是“
”的（ ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

5．已知某个几何体的三视图如图（主视图中的弧线是半圆），根据图中标出的尺寸，可得这个几何体的体积是（单位：cm3）（ ）

A． B．
C．
D．

6．2011年西安世园会组委会要从五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同的工作，若其中有一名志愿者只能从事司机工作，其余四人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有（ ）

A．240种 B．36种 C．24种 D．48种

7．已知函数
，为了得到函数
的图像，只需将
的图像（ ）

A．向左平移
个单位 B．向右平移
个单位

C．向左平移
个单位 D．向右平移
个单位

8．已知函数
，则下列式子成立的是（ ）

A．
B．

C．
D．

9．阅读右边所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果是（ ）

A．20 B．21

C．200 D．210

10．设点P为双曲线
上的一点，
，
是该双曲线的左、右焦点，若
的面积为12，则
等于（ ）

A．
B．
C．
D．

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．将答案填写在题中的横线上．

（一）必做题（11～14题）

11．若
，则

．

12．函数
的图像恒过定点A，若点A在直线
上，其中
，则
的最小值为 ．

13．在区间
内随机取两个数m，n，则关于x的一元二次方程
有实数根的概率为 ．

14．直线
与圆
相交于两点A、B，若
，O为坐标原点，则
= ．

（二）选做题（考生只能从A、B、C三小题中选做一题，若多做，则按所做的第一题评阅给分）

15．A．（几何证明选讲选做题）已知PA是圆O的切线，切点为A，PA = 2．AC是圆O的直径，PC与圆O交于点B，PB = 1，则AB = ；

B．（不等式选讲选做题）已知关于x的不等式
无解，则实数k的取值范围是 ；

C．（坐标系与参数方程选做题）已知极坐标的极点在直角坐标系的原点O处，极轴与x轴的正半轴重合，曲线C的参数方程为
，直线l的极坐标方程为
，则直线l与曲线C的交点个数为 ．

三、解答题：共6道题，共75分．要求写出演算和推理过程．

16．（本小题满分12分）

数列
满足
，
（
）.

（Ⅰ）证明：数列
是等差数列；

（Ⅱ）设
，求数列
的前项和
.

17．（本小题满分12分）

函数
在区间
上的图象如图所示。

（Ⅰ）求
的解析式；

（Ⅱ）设
三内角
所对边分别为
且
，求
在
上的值域．

18．（本小题满分12分）

在长方体
中，
，过
三点的平面截去长方体的一个角后，得如图所示的几何体
,
分别为
的中点．

（Ⅰ）求证：
；

（Ⅱ）求
的夹角
的余弦值．

19．（本小题满分12分）

为了解今年某校高三毕业班准备报考飞行员学生的体重情况，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图(如图)，已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1:2:3，其中第2小组的频数为12.

（Ⅰ）求该校报考飞行员的总人数;

（Ⅱ）以这所学校的样本数据来估计全省的总体数据,若从全省报考飞行员的同学中（人数很多）任选三人，设X表示体重超过60公斤的学生人数，求X的分布列和数学期望.

20．（本小题满分13分）

已知动点
到点
的距离，等于它到直线
的距离．

（Ⅰ）求点
的轨迹
的方程；

（Ⅱ）过点任意作互相垂直的两条直线
，分别交曲线
于点
和
．设线段
，
的中点分别为
．求证：直线
恒过一个定点；

（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求
面积的最小值．

21．（本小题满分14分）

已知函数
，
.

(Ⅰ)若函数
在点
处的切线方程为
，则求的值

(Ⅱ)若函数
有三个不同的极值点，求的取值范围；

(Ⅲ)若存在实数
，使对任意的
，不等式
恒成立，求正整数的最大值。

高三大练习数学试题（理科）参考答案

选择题（每小题5分，共50分）

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．将答案填写在题中的横线上．

（一）必做题：11． 31 ；12． 2 ；13．
；14． -2 ．

（二）选做题：15．A．
；B．
；C． 2 ．

三、解答题：共6道题，共75分．要求写出演算和推理过程．

16．（本小题满分12分）

∴
……………………12分

17．（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）由图可知，
，则
……………………………2分

函数
过点

…………………………4分

…………………………5分

（Ⅱ）以D为坐标轴原点，以
分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,不妨设
，

则

设

，
。……………12分

19．（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）设报考飞行员的人数为,前三小组的频率分别为
,由条件可得:

解得
——————4分

又因为
，故
——————6分

（Ⅱ）由（Ⅰ）可得：一个报考学生体重超过60公斤的概率为
，所以X服从二项分布,

随机变量X的分布列为：

x

0

1

2

3



p













则
……………………12分

(或:
)

20．（本小题满分13分）

解：（Ⅰ）设动点
的坐标为
，由题意得，
，

化简得
，所以点
的轨迹
的方程为
． ……4分

（Ⅱ）设
两点坐标分别为
，
，则点的坐标为
．由题意可设直线
的方程为

，

由
得
.

.

因为直线
与曲线
于
两点，所以
，
．所以点的坐标为
.

由题知，直线
的斜率为
，同理可得点
的坐标为
.

当
时，有
，此时直线
的斜率
.

所以，直线
的方程为
，

整理得
.于是，直线
恒过定点
；

当
时，直线
的方程为
，也过点
．

综上所述，直线
恒过定点
． …………10分

（Ⅲ）
，
面积
.

当且仅当
时，“”成立，所以
面积的最小值为．……13分

21．（本小题满分14分）

解(Ⅰ)
…………4分

(Ⅱ)

令
，则方程
有三个不同的根

又

令
得
且
在区间
递增，在区间
递减

，

故符合题意的正整数的最大值为5 …………14分