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凯里一中2015届高三年级2月阶段性检测

数学试卷（理）

命题人：贾士伟 审题人：陈守坪

注意事项

1、本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．满分150分，考试时间120分钟．

2、每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号，不能答在试题卷上．

3、答题前认真阅读答题卡上的“注意事项”．

参考公式：

样本数据
的标准差

其中
为样本平均数

柱体体积公式

其中
为底面面积，
为高

锥体体积公式

其中
为底面面积，
为高

球的表面积，体积公式

，

其中
为球的半径





第Ⅰ卷(选择题，共60分)

一、选择题：本大题共12题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，

只有一项是符合题目要求的．

1、已知集合
，
，则

A．

B．

C．

D．



2、在各项都为正数的等比数列
中，
，前三项的和为
，则

A．

B．

C．

D．



3、若复数
满足
，则
的共轭复数
对应的点位于

A． 第一象限

B． 第二象限

C． 第三象限

D． 第四象限



4、已知
，则

A．

B．

C．

D．



5、执行如图所示的程序框图．若输出
， 则框图中①处可以填入

A．

B．

C．

D．






6、某四面体的三视图如图所示，该四面体的六条棱的长度中最大的是

A．

B．

C．

D．



7、已知圆
与直线
及
都相切，圆心在直线
上，则圆
的

方程为

A．

B．



C．

D．



8、 已知函数
的最大值为
，最小值为
，最小正周期为
，直线
是其图像的一条对称轴，则下面各式中符合条件的函数解析式是

A．

B．



C．

D．



9、某一部件由三个电子元件按下图方式连接而成，元件
或元件
正常工作，且元件
正常工作，则部件正常工作，设三个电子元件的使用寿命（单位：小时）均服从正态分布
，且各个元件能否正常工作相互独立，那么该部件的使用寿命超过
小时的概率为

A．

B．

C．

D．



10、设
，
，
, 则

A．

B．

C．

D．



11、过抛物线
的焦点
的直线交抛物线于
两点，点
是坐标原点，若
，则△
的面积为

A．
B．
C．
D．
]

12、若函数
对任意的
恒成立，则
的取值范围是

A．
B．
C．
D．

第Ⅱ卷 (非选择题，共90分)

本卷包括必考题和选考题两部分．第13题
第21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22题
第24题为选考题，考生根据要求作答．

二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分．

13、
为等差数列
的前
项和，若
，
，则
．

14、已知实数
满足
，则
的最小值为 ．

15、如图，已知点
，点
在曲线

上，若阴影部分面积与△
面积相等，

则
．

16、若正三棱锥
（底面是正三角形，顶点
在底面的射影是
的中心）满足
，则该三棱锥外接球球心
到平面
的距离为__________．

三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17、（本小题满分12分）在△
中，三个内角
,
,
的对边分别为
,
,
，且

．

（Ⅰ）求角
；

（Ⅱ）若
，求△
周长的最大值．

18、（本小题满分12分）某高中为了推进新课程改革，满足不同层次学生的需求，决定从高一年级开始，在每周的周一、周三、周五的课外活动期间同时开设数学、物理、化学和生物辅导讲座，每位有兴趣的同学可以在期间的任何一天参加任何一门科目的辅导讲座，也可以放弃任何一门科目的辅导讲座．统计数据表明，各学科讲座各天的满座的概率如下表（规定：各科达到预先设定的人数时称为满座，否则称为不满座）：

数学

物理

化学

生物



周一











周三











周五











根据上表：

（Ⅰ）求数学辅导讲座在周一、周三、周五恰有一天满座的概率；

（Ⅱ）设周三各辅导讲座满座的科目数为
，求随机变量
的分布列和数学期望．

19、（本小题满分12分）在直角梯形
中，
，

，
，如图，把
沿
翻折，使得平面
平面
．

（Ⅰ）求证：
；

（Ⅱ）在线段
上是否存在点
，使得
与平面
所成角为
？若存在，求出
的值；若不存在，请说明理由．

20、（本小题满分12分）椭圆

的左、右顶点恰好与双曲线
：
的左、右焦点重合，且椭圆
与双曲线
的离心率互为倒数．

（Ⅰ）求椭圆
的方程；

（Ⅱ）过点
的直线
与椭圆
相交于
，
两点．点
，记直线
的斜率分别为
，当
最大时，求直线
的方程．

21、（本小题满分12分）已知函数

（Ⅰ）当
时，求函数
的极小值；

（Ⅱ）设定义在
上的函数
在点
处的切线方程为
，当
时，若
在
内恒成立，则称
为函数
的“转点”．

当
时，试问函数
是否存在“转点”．若存在,请求出“转点”的横坐标，若不存在，请说明理由．

请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑
．

22、（本小题满分10分）【选修4—1：几何证明选讲】

如图，
是⊙
的一条切线，切点为
，
都是⊙
的割线，已知
．

（Ⅰ）证明：
；

（Ⅱ）证明：
．

23、（本小题满分10分）【选修4—4：坐标系与参数方程】

已知在直角坐标系
中，直线
的参数方程是
（
为参数），在极

坐标系（与直角坐标系
取相同的长度单位，且以原点
为极点，以
轴正半轴为极轴）中，圆
的极坐标方程为
．

（Ⅰ）将圆
的极坐标方程化为直角坐标方程；

（Ⅱ）若直线
与圆
相交于
两点，点
的坐标为
，试求
的值．

24、（本小题满分10分）【选修4—5：不等式选讲】

设不等式
的解集与关于
的不等式
的解集相同．

（Ⅰ）求
，
的值；

（Ⅱ）求函数
的最大值，以及取得最大值时
的值．

凯里一中2015届高三年级2月阶段性检测

数学参考答案（理）

一、选择题：本大题共12题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，

只有一项是符合题目要求的．

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



选项

B

C

D

A

B

C

B

D

C

C

B

B



二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分．

13、
14、
15、
16、

三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17、解：（Ⅰ）由
得：
,

结合正弦定理有：
,

因为在△
中，
,

所以
．

又
,

所以
．

（Ⅱ）由余弦定理
,

因为
,
,

所以
，即
． ①

因为
, ②

由①②得
，解得
．

所以，当且仅当
时，△
周长的最大值为
．

18、解：（Ⅰ）设数学辅导讲座在周一、周三、周五恰有一天满座为事件A，

则

（Ⅱ）
的可能值得为

所以随机变量
的分布列如下：

0

1

2

3

4

















故

19、解：（Ⅰ）证明：因为
，

，

所以
,
,

,

所以
，

所以
．

又平面
平面
，平面
平面

所以
平面

又
平面
，

所以

（Ⅱ）因为
平面
，所以
．以点
为原点，
所在的直线为
轴，
所在直线为
轴,过点
作垂直平面
的直线为
轴，建立空间直角坐标系
，

如图．由已知，得
，
，
，
．

所以
，
．

设平面
的法向量为
，则

所以
令
，得平面
的一个法向量为

假设存在点
，使得
与平面
所成角为

设
，则
，

所以
，即
，

可得
，解得
或
（舍去）

综上所述，在线段
上存在点
，使得
与平面
所成角为
，

此时

20、解：（Ⅰ）双曲线
的左、右焦点为
，离心率为
，

所以
，

进而

所以椭圆
的方程为

（Ⅱ）①当直线
的斜率为
时，容易求得

②当直线
的斜率不为
时，设
，直线
的方程为

将
代入
，整理得

．

则

又
，

所以