2014-2015学年度高三第二次模拟考试数学（文）试卷

本试卷分第1卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分．考试时间120分钟。

注意事项：

1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置上．

2．选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号；非选择题答案用0．5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整，笔迹清楚．

3．请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效．

4．保持卡面清洁，不折叠，不破损．

5．若做选考题时，考生应按照题目要求作答，并在答题卡上对应的题号后填写．

第Ⅰ卷（选择题共50分）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5努，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．设a、b为实数，若
=1+i（i为虚数单位），则( )

A．
B．
C．
D．

2．计算sin43°cos347°—cos137°sin193°的值为( )

A．
B．
C．
D．

3．已知数列{
}满足
=1，且对任意的正整数m、n，都有
，则a2012 - a2011=( )

A．3 B．2011 C．4 D．2012

4．已知函数
则不等式
的解集是( )

A．[0,+∞） B．[一l,2] C．[0,2] D．[1,+∞）

5．已知直线l⊥平面，直线m平面
，有下面四个命题：①∥
；②
；,；③

；④

其中正确的两个命题是( )

A．③与④ B．①与② C．①与③ D．②与④

6．设a、bR，则“a>b且c>d”是“a+c>b+d”的( )

A．既不充分也不必要条件 B．充分不必要条件

C．充分必要条件 D．必要不充分条件

7．已知P为抛物线
上的动点，Q是圆
上的动点，则点P到点Q的距离与点P到抛物线准线的距离之和的最小值为( )

A．
+2 B．5 C．8 D．
-1

8．若定义在R上的偶函数
满足
，且当
[0，1]时，
x，函数
则方程f（x）-g（x） =0的解的个数为( )

A．1 B．4． C．3 D．2

9．已知点F1、F2分别是双曲线
的左、右焦点，过F1且垂直于x轴的直线与双曲线交于A、B两点，若△ABF2是锐角三角形，则该双曲线离心率的取值范围是( )

A．（1，1+
） B．（1，
） C．（
，2
） D．（1 +
，+∞）

10．已知函数f（x）=
满足
a、6为正实数
的最小值为( )

A．-3 B．-6 C．1 D．0

第Ⅱ卷（非选择题共100分）

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．将答案填写在题中的横线上．

11．设函数
在其图像上任意一点（
）处的切线的方程为），

=
，则函数y=
的单调减区间为 。

12．某几何体的俯视图是如右图所示的矩形，正视图（或称主视

图）是一个底边长为8、高为5的等腰三角形，侧视图（或

称左视图）是一个底边长为6、高为5的等腰三角形．则该

几何体的体积为 。

13．若执行如图所示的程序框图，输入
，

则输出的数S等于 。

14．已知P、Q为△ABC内两点，且满足

则
= 。

15．（考生注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评阅记分）

（A）（几何证明选做题）已知PA是圆D的切线，切点为A，PA =2，AC是圆D的直径，PC与圆D交于点B，PB =1，则圆O的半径r= 。

（B）（极坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，曲线
上任意两点间的距离的最大值为 。

（C）（不等式选做题）若不等式
对于任意xR恒成立，则实数a的取值范围为 。

三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

16．（本小题满分12分）已知向量
，其中
，记函数
，已知
的最小正周期为.

（Ⅰ） 求；

（Ⅱ）当
时，试求
的值域．

17．（本小题满分12分）袋中装着标有数字1，2，3的小球各两个，从袋中任取两个小球，每个小球被取出的可能性都相等．

（Ⅰ）求取出的两个小球上的数字互不相同的概率；

（Ⅱ）求取出的两个小球上的数字之和为4的概率；

18．（本小题满分12分）如图，在底面为平行四边形的四棱锥P - ABCD中，AB⊥AC，PA⊥面ABCD，E是PD的中点．求证：

（I）AC⊥PB；

（Ⅱ）PB∥面AEC．

19．（本小题满分12分）已知
在
与
时都取得极值．

（Ⅰ）求
的值；

（Ⅱ）若
，求
的单调区间和极值

20.（本小题满分13分）已知椭圆
的两个焦点分别是
，是椭圆在第一象限的点，且满足
，过点作倾斜角互补的两条直
，分别交椭圆于
两点．

（Ⅰ）求点的坐标；

（Ⅱ）求直线
的斜率；

21．（本小题满分14分）设对于任意的实数
，函数
，
满足
，且

，
，

（Ⅰ）求数列
和
的通项公式；

（Ⅱ）设
，求数列
的前项和



16（本小题满分12分）

解：(Ⅰ)
=
=
.

∵
，∴
， ∴=1；

(Ⅱ) 由(1)，得
， ∵
， ∴


.

∴
的值域
．

17（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）记“取出的2个小球上的数字互不相同”为事件，

从袋中的6个小球中任取2个小球的方法共有
种，其中取出的2个小球上的数字互不相同的方法有
种，∴
；

，

18.证明：

19．（本小题满分12分）

解：（1）

由题设
与
为
的解．

，
．∴
，
．

（2）
，由
，
．

∴
．















＋

0

－

0

＋





增函数

最大值

减函数

最小值

增函数



∴
的递增区间为
，及
，递减区间为
．

当
时，
有极大值，
；当
时，
有极小值，
．

20（本小题满分13分）

解：Ⅰ由于
，
，设
，由
得

，

那么
，与
联立得

Ⅱ设
，那么
，其中
，将直线
的方程
代入椭圆
得
，

由于
，而
，那么

将直线
的方程
代入椭圆
得
，

由于
，而
，那么

那么

，那么

21．（本小题满分14分）

解：（Ⅰ）取
，得
，取
，

故数列
是首项是1，公比为
的等比数列，所以

取
，
，得
，即
，故数列
是公差为的等差数列，又
，所以

（Ⅱ）

，两式相减得

所以