2014-2015学年度高三第二次模拟考试数学（理）试题

第Ⅰ卷 选择题（共50分）

一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分）

1．设全集为实数集R，
,则图中阴影部分表示的集合是( )

A．
B．

C．
D．

2．设
是虚数单位，则“
”是“
为纯虚数”的（ ）

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分又不必要条件

3．已知函数

图像的一部分（如图所示），则与的值分别为（ ）

A．
B．
C．
D．

4．直线
（
）与圆
的位置关系是（ ）

A．相切 B．相离 C．相交 D．不确定

5．如果执行右面的算法语句输出结果是2，则输入的值是( )

A．0 B．
或2 C．2 D．0或2

6．若
的内角A、B、C满足
，则
=（ ）

A．2 B．
C．-1 D．1

7．已知向量
满足
，且
，则
在
方向上的投影为（ ）

A．
B．-
. C．
D．

8．某几何体的主视图与俯视图如图，主视图与左视图相同，且图中的四边形都是边长为2的正方形，两条虚线互相垂直，则该几何体的表面积为（ ）

A．
B.
C．20 D．24

9．为了得到函数
的图像，可将函数
的图像上所有的点的（ ）

A．纵坐标缩短为原来的
，横坐标不变，再向左平移1个单位

B．纵坐标缩短为原来的
，横坐标不变，再向左平移1个单位

C．横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，再向左平移1个单位

D．横坐标伸长为原来的
倍，纵坐标不变，再向右平移1个单位

10．向量
=（mx，8），
=（2x+2,-x）,
=（1，0），函数f（x）=
+1，g（x）=
.若对一切实数x,f(x)与g（x）的值至少有一个为正数,则实数m的取值范围是( )

A．(2,4) B．(0,8) C．(2,8) D．(0,4]

第Ⅱ卷 非选择题（共100分）

二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．

11．某用户计划用不超过500元的资金购买单价分别为60元，70元的单片软件和盒装磁盘，根据需要软件至少买3件，磁盘至少买2盒，则不同的选购方式共有______种；

12．若函数
在上可导，
，则
______；

13．如果半径为3的球的球面上有O,A,B,C四点，且OA,OB,OC两两垂直,那么三个三角形
面积之和的最大值等于_____________；

14．以下四个命题中:①从20名干部,40名工人,50名农民中按分层抽样的办法选出22人参加问卷调查,那么在选出的22人中8名工人；②若x>0,则
≥2；

③集合A={(x,y)
},B={(x,y)
},则集合A∩B={-1,0}；

④
=1. 其中真命题的序号为 .

15．（考生注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分）

A．（选修4—5不等式选讲）已知实数、满足
，则
的最小值为_________；

B．(几何证明选做题)如图，
是半圆的直径，点在半圆上，
，垂足为，且
，设
，则
的值为 _________；

C．(坐标系与参数方程选做题)圆
和圆
的极坐标方程分别为
，则经过两圆圆心的直线的直角坐标方程为_________．

三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

16．(本题满分12分) 已知数列
的各项都是正数，前项和是
，且点
在函数
的图像上．

（Ⅰ）求数列
的通项公式；

（Ⅱ）设
，求
．

17．(本题满分12分)已知锐角
中的内角
的对边分别为
，定义向量
，且
．

（Ⅰ）求角B的值；

（Ⅱ）如果
，求
的面积的最大值．

18．(本小题满分12分)为防止风沙危害，某地种植沙柳，某人甲春天一次种植了4株沙柳，根据以往经验，这个人种植沙柳时每种植3株就有2株成活，且各株沙柳成活与否是相互独立的.

（1）写出成活沙柳的株数的分布列，并求其期望值；

（2）为有效防止风沙危害，该地至少需要种植32000株沙柳，如果参加种植沙柳的人每人种植4株沙柳，问至少需要具有甲的种植水平的多少人来参加种植沙柳，才能保证有效防止风沙危

19．(本题12分)如图，在三棱锥S-ABC中，△ABC是边长为4的正三角形，平面SAC⊥平面ABC，SA=SC=
，M、N分别为AB、SB的中点.

（Ⅰ）证明：AC⊥SB；

（Ⅱ）求二面角N-CM-B的余弦值；

（Ⅲ）求点B到平面CMN的距离.

20.（本小题满分13分）已知
的两个顶点E，F的坐标分别为
和
，顶点D为动点，如果
的周长为6.

（Ⅰ）求动点D的轨迹C的方程；

（Ⅱ）设过点
的直线与轨迹C相交于A、B两点，试问在x轴上是否存在一个定点M使
恒为定值？若存在求出该定值及点M的坐标，若不存在，请说明理由．

21. （本小题满分14分）已知函数

（Ⅰ）若曲线
在点
处的切线与直线
平行，求这条切线的方程；

（Ⅱ）讨论函数
的单调区间；

（Ⅲ）若对于任意的
，都有
，求实数的取值范围.