第I卷(选择题 共50分)

一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 请将答案填在答题卡的相应位置．）

1. 复数
( )

A．
　　　　Ｂ．
　　　　 C．
　　　　 D．

2.已知随机变量
服从正态分布
，
,则
（ ）

A．
　　　　 Ｂ．
　　 　 C．
　　　　 D．

3. 已知三个数
构成一个等比数列,则圆锥曲线
的离心率为（ ） （　C　）

A．
B．
C．
或
D．
或

4.?若
，则“
”是“方程
表示双曲线”的（ ）

A．充分不必要条件　 　　　Ｂ．必要不充分条件　　　　

C．充要条件　　　 　 D．既不充分也不必要条件

5. 某程序框图如图所示，若该程序运行后输出的值是
，则的可能值为 (　　)

A． B．
C．
D．

6. 从某高中随机选取5名高三男生，其身高和体重的数据如下表所示：

由下表可得回归直线方程
，据此模型预报身高为
的男生的体重大约为（ ）

A．69.5
B．70
C．70.5
D．71

7.一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图（如上图）。为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，要从这10000人中再用分层抽样方法抽出100人作进一步调查，则在
（元）月收入段应抽出

的人数为( ).

A．
B．
C．
D．

8．已知直线
经过抛物线
的焦点，则直线与抛物线相交弦弦长为（ ）

A．
　 　　　Ｂ．
　　　　 C．
　　　 　D．

9. 已知直线
与曲线
有公共点，则
的取值范围为（ ）

A．
B．
C．
D．

10. 设
分别为
和椭圆
上的点，则
两点间的最大距离是（ ）

A．
B.
C.
D.

第II卷（非选择题共100分）

二、填空题：（本大题共5小题，每小题4分，共20分，请将答案填在答题卡的相应位置．）

11. 已知
则
_；

12. 已知直线
过圆
的圆心，且与直线
垂直，则
的方程是_________ ___；

13. 不同的五种商品在货架上排成一排，其中甲、乙两种必须排在一起，丙、丁两种不能排在一起，则不同的排法种数共有 ；（用数字作答）

14. 在区间
内随机的取两个数
，则满足
的概率是 ；（用数字作答）

15.若
是过圆锥曲线中心的任意一条弦，
是圆锥曲线上异于、的任意一点，且
、
均与坐标轴不平行，则对于椭圆
有
，类似地，对于双曲线
，有
.

三、解答题：（本大题共6小题，共80分，请将答案写在答题卡的相应位置．）

16. （本小题满分13分）

已知
，
，
，

(Ⅰ)若
，
，求
的值；

（Ⅱ）求函数
的最小正周期及单调递增区间.

17. （本小题满分13分）

我国政府对PM2．5采用如下标准：

PM2.5日均值m（微克/立方米）

空气质量等级





一级





二级





超标





三明市环保局从180天的市区PM2．5监测数据中，随机抽取l0天的数据作为样本，监测值如茎叶图所示(十位为茎，个位为叶)．

(Ⅰ) 求这10天数据的中位数.

（Ⅱ）从这已检测到的l0天数据中任取3天数据，记
表示空气质量达到一级的天数，求
的分布列；

（Ⅲ）以这10天的PM2．5日均值来估计这180天的空气质量情况，其中大约有多少天的空气质量达到一级．

18. （本小题满分13分）

设数列
的前项和为
，并且满足
，
．

(Ⅰ) 求
；

（Ⅱ）猜想
的通项公式，并用数学归纳法加以证明.

19. （本小题满分13分）

如图，在四棱锥
中，
平面
，底面
是菱形，
.

(Ⅰ) 求证：
平面

（Ⅱ）若
求
与
所成角的余弦值；

（Ⅲ）当平面
与平面
垂直时，求
的长.

20. （本小题满分14分）

如图，已知椭圆
的离心率为
，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点
为顶点的三角形的周长为
.一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设为该双曲线上异于顶点的任一点，直线
和
与椭圆的交点分别为
和
.

（Ⅰ）求椭圆和双曲线的标准方程；

（Ⅱ）设直线
、
的斜率分别为
、
，证明
；

（Ⅲ）探究
是否是个定值，若是，求出这个定值；

若不是，请说明理由.



一、选择题

题目

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10



答案

C

B

C

A

A

B

A

C

D

D



二、填空题

11、
12、
13、
14、
15、

三、解答题

16、解:(I)
，
，
， -------2分

-------5分

(II)
，

---9分

所以
的最小正周期
, -----------10分

由
得，
，

所以
的的单调增区间为
. ---------13分

17解:(I)10天的中位数为
（微克/立方米） ------------2分

(II)由
,
的可能值为0，1，2，3 ------------3分

利用

即得分布列： ------7分

0

1

2

3















 -----10分

(III)一年中每天空气质量达到一级的概率为
，由～
, 得到 ----12分
(天) ，

故一年中空气质量达到一级的天数为72天. ---------13分

18. 解：分别令n＝1,2,3，得



∵an>0，∴a1＝1，a2＝2，a3＝3. ------------4分

(2)解　猜想：an＝n， ------------5分

由2Sn＝a＋n， ①

可知，当n≥2时，2Sn－1＝a＋(n－1)， ②

①－②，得2an＝a－a＋1，即a＝2an＋a－1. ------------6分

(ⅰ)当n＝2时，a＝2a2＋12－1，∵a2>0，∴a2＝2； ------------7分

(ⅱ)假设当n＝k(k≥2)时，ak＝k.

那么当n＝k＋1时，

[ak＋1－(k＋1)][ak＋1＋(k－1)]＝0，

∵ak＋1>0，k≥2，∴ak＋1＋(k－1)>0，

∴ak＋1＝k＋1.

这就是说，当n＝k＋1时也成立，

∴an＝n(n≥2)．显然n＝1时，也适合．

综合（1）（2）可知对于n∈N*，an＝n都成立。 ----------13分

19.解：证明：（Ⅰ）因为四边形ABCD是菱形，

所以AC⊥BD. -------------1分

又因为PA⊥平面ABCD.

所以PA⊥BD. 又因为
-------------2分

所以BD⊥平面PAC. -------------3分

（Ⅱ）设AC∩BD=O.

因为∠BAD=60°，PA=AB=2,

所以BO=1，AO=CO=
. -------------4分

以O为坐标原点，OB为X轴，OC为Y轴建立空间直角坐标系O—xyz，则

P（0，—
，2），A（0，—
，0），B（1，0，0），C（0，
，0）.

所以
--------------5分

设PB与AC所成角为
，则

. -------------8分

（Ⅲ）由（Ⅱ）知

设P（0，－
，t）（t>0），则
-------------9分

设平面PBC的法向量
,

则

所以
取
则
所以
-----------10分

同理，平面PDC的法向量
-----------11分

因为平面PCB⊥平面PDC,所以
=0，即

解得
，所以PA=
-------------13分

20.解（Ⅰ）设椭圆的半焦距为c，由题意知：
，2a+2c=4(
+1)所以a=2
，c=2，

又
=
，因此b=2。故 椭圆的标准方程为
-------------2分

由题意设等轴双曲线的标准方程为

，因为等轴双曲线的顶点是椭圆的焦点。

所以m=2，

因此 双曲线的标准方程为
-------------4分

（Ⅱ）设P（
），

则
=
，
。 -------------6分

因为点P在双曲线
上，所以
。

因此
，即
-------------8分

（III）设A（
，
），B（
），由于
的方程为
，将其代入椭圆方程得

-------------9分

所以
，所以 -------------10分

-------------11分

同理可得
. -------------12分

则