秘密★启用前

凯里一中2015届高三年级2月阶段性检测

数学试卷（文）

命题人：贾士伟 审题人：陈守坪

注意事项

1、本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分,考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．满分150分，考试时间120分钟．

2、每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号，不能答在试题卷上．

3、答题前认真阅读答题卡上的“注意事项”．

参考公式：

样本数据
的标准差

其中
为样本平均数

柱体体积公式

其中
为底面面积，
为高

锥体体积公式

其中
为底面面积，
为高

球的表面积，体积公式

，

其中
为球的半径





第Ⅰ卷(选择题，共60分)

一、选择题：本大题共12题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，

只有一项是符合题目要求的．

1、设全集
,集合
,
，则

A．

B．

C．

D．



2、若复数
满足
，则
对应的点位于

A． 第一象限

B． 第二象限

C． 第三象限

D． 第四象限



3、已知
,
，则
的值等于

A．
B．
C．
D．

4、设
是等差数列
的前
项和，
，则

A．

B．

C．

D．





5、“
”是“直线
:
与
:
平行”的

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

6、已知等比数列
的首项
公比
，则

A．

B．

C．

D．



7、执行如图所示的程序框图．若输出
， 则框图中①处可以填入

A．

B．

C．

D．






8、某四面体的三视图如图所示，该四面体的六条棱的长度中最大的是

A．

B．

C．

D．



9、设
，
，
, 则

A．

B．

C．

D．



10、已知函数
的最大值为
，最小值为
，最小正周期为
，直线
是其图像的一条对称轴，则下面各式中符合条件的函数解析式是

A．

B．



C．

D．





11、已知双曲线
（
，
），过其右焦点且垂直于实轴的直线与双曲线交于
两点，
为坐标原点，若
，则双曲线的离心率为

A．

B．

C．

D．



12、已知
是圆
：
上的两个点，
是
线段上的动点，当
的面积最大时，则
的最大值是

A．
B．
C．
D．

第Ⅱ卷 (非选择题，共90分)

本卷包括必考题和选考题两部分．第13题
第21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22题
第24题为选考题，考生根据要求作答．

二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分．

13、已知实数
满足
，则目标函数
的最大值为 ．

14、下面茎叶图表示的是甲、乙两人在
次综合测评中的成绩，其中一个数字被污损．则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为 ．

15、一个所有棱长均为
的正三棱锥（底面是正三角形，顶点在底面的射影是底面的中心）的顶点与底面的三个顶点均在某个球的球面上，则此球的体积为 ．

16、若函数
对任意的
恒成立，则
的最大值是___________．

三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17、（本小题满分12分）已知某校在一次考试中，
名学生的历史和语文成绩如下表：

学生的编号i

1

2

3

4

5



历史成绩x

80

75

70

65

60



语文成绩y

70

66

64

68

62



（Ⅰ）若在本次考试中，规定历史成绩在
以上（包括
分）且语文成绩在
分以上

（包括
分）的为优秀，计算这五名同学的优秀率；

（Ⅱ）根据上表利用最小二乘法，求出
关于
的线性回归方程
，其中

；

（III）利用（Ⅱ）中的线性回归方程，试估计历史
分的同学的语文成绩．（四舍五入到整数）

18、（本小题满分12分）在△
中,三个内角
,
,
的对边分别为
,
,
，且

．

（Ⅰ）求角
；

（Ⅱ）若
，求△
面积的最大值．

19、（本小题满分12分）在直角梯形
中，
，

，
，如图，把
沿
翻折，使得平面
平面
．

（Ⅰ）求证：
；

（Ⅱ）若点
为线段
中点，求点
到平面
的距离．

20、（本小题满分12分）已知函数

（Ⅰ）求曲线
在点
处的切线方程；

（Ⅱ）对
恒成立，求实数
的取值范围．

21、（本小题满分12分）椭圆

短轴的一个端点与两个焦点的连线构成面积为
的等腰直角三角形．

（Ⅰ）求椭圆
的方程；

（Ⅱ）过点
的直线
与椭圆
相交于
，
两点．点
，记直线
的斜率分别为
，当
最大时，求直线
的方程．

请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑
．

22、（本小题满分10分）【选修4—1：几何证明选讲】

如图，
是⊙
的一条切线，切点为
，
都是⊙
的割线，已知
．

（Ⅰ）证明：
；

（Ⅱ）证明：
．

23、（本小题满分10分）【选修4—4：坐标系与参数方程】

已知在直角坐标系
中，直线
的参数方程是
（
为参数），在极

坐标系（与直角坐标系
取相同的长度单位，且以原点
为极点，以
轴正半轴为极轴）中，圆
的极坐标方程为
．

（Ⅰ）将圆
的极坐标方程化为直角坐标方程；

（Ⅱ）若直线
与圆
相交于
两点，点
的坐标为
，试求
的值．

24、（本小题满分10分）【选修4—5：不等式选讲】

设不等式
的解集与关于
的不等式
的解集相同．

（Ⅰ）求
，
的值；

（Ⅱ）求函数
的最大值，以及取得最大值时
的值．

凯里一中2015届高三年级2月阶段性检测

数学参考答案（文）

一、选择题：本大题共12题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，

只有一项是符合题目要求的．

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



选项

C

A

A

B

A

D

B

C

C

D

D

C



二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分．

13、
14、
15、
16、

三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17、解：（Ⅰ）这
名学生中有
名历史成绩在
以上且语文成绩在
分以上，

所以这五名同学的优秀率为
．

（Ⅱ）

所以线性回归方程是：

（III）

所以历史
分的同学的语文成绩是

18、解：（Ⅰ）由
得：
,

结合正弦定理有：
,

因为在△
中，
,

所以
．

又
,

所以
．

（Ⅱ）由余弦定理
,

因为
,
,

所以
．

因为
,

所以
． （当且仅当
时取等号）

因此，
．

19、解：（Ⅰ）证明：因为
，

，

所以
,
,

,

所以
，

所以
．

又平面
平面
，平面
平面

所以
平面

又
平面
，

所以

（Ⅱ）由已知条件可得
，
，所以
．

由（Ⅰ）知
平面
，即
为三棱锥
的高，

又
，所以

由
平面
，知

所以

于是

设点
到平面
的距离为
，

则

因为点
为线段
中点，求点
到平面
的距离为

20、解：（Ⅰ）

所以曲线
在点
处的切线方程为

即

（Ⅱ）依题意对
恒成立等价于
在
上恒成立

可得
在
上恒成立，

令

，得

列表：











-

0

+





↘



↗




函数
的最小值为
,

根据题意，
．

21、解：（Ⅰ）由题：

解得

所以椭圆
的方程为

（Ⅱ）①当直线
的斜率为
时，容易求得

②当直线
的斜率不为
时，设
，直线
的方程为

将
代入
，整理得

．

则

又
，

所以

令
，则

当
时，

当
时，
（仅当
，即
时，取等号）

此时

由①②得，当
最大时，直线