考试时间：2015年1月5日 7:30~9:30 共120分钟 (满分：150分)

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)

1、已知复数
，
，则
( )

A．
B．
C．
D．

2、已知
，
，则
( )

A．
B．
C．
D．

3、函数
的某个零点所在的一个区间是( )

A．
B．
C．
D．

4、在正方体
中，直线
与
所成的角为( )

A．
B．
C．
D．

5、某化工厂单位要在600名员工中抽取60名员工调查职工身体健康状况，其中青年员工300名，中年员工200名，老年员工100名，下列说法错误的是( )

A．老年人应作为重点调查对象，故老年人应该抽超过30名

B．每个人被抽到的概率相同为
C．应使用分层抽样抽取样本调查

D．抽出的样本能在一定程度上反应总体的健康状况

6、下列命题中，真命题是( )

A．
，
B．
，

C．
的充要条件是
D．
，
是
的充分条件

7、等比数列
的首项
，前项的和为
，若
，则
( )

A．
B．
C．或
D．
或

8、如图，矩形
中点位边
的中点，若在矩形
内部随机取一个点
，则点
取自
内部的概率等于( )

A．
B．
C．
D．

9、已知直线
过圆
的圆心，且与直线
垂直，则
的方程是( )

A．
B．
C．
D．

10、在同一个坐标系中画出函数
，
的部分图像，其中
且
，则下列所给图像可能正确的是( )

A． B．

C． D．

11、已知
、
为双曲线
:
的左、右焦点，点在曲线
上，
，则到轴的距离为( )

A．
B．
C．
D．

12、已知为抛物线
的焦点，点
在该抛物线上且位于轴的两侧，
(其中
为坐标原点)，则
与
面积之和的最小值是( )

A．2 B．3 C．
D．

二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分。把答案填在答题卡的相应位置.)

13、已知
，
，则
********.

14、阅读右图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的值

等于********.

15、下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录

的产量 (吨)与相应的生产能耗 (吨标准煤)的几组对应数据﹒

x

3

4

5

6



y

2.5

m

4

4.5



根据上表提供的数据，求出y关于x的线性回归方程
，

那么表中m的值为********．

16、桌上有十个苹果，要把这十个苹果放到九个抽屉里，无论怎样放，我们会发现至少会有一个抽屉里面至少放两个苹果. 这一现象就是我们所说的“抽屉原理”。

现已知某某市一中有2556名学生，假设没有同学在2月29号过生日，那么在一年365天中最多人过生日的那天，至少有********人同时过生日.

三、解答题(本大题共6小题，共74分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.)

17、(本小题12分)在等差数列
中，
..

(1)求
；

(2)设
，求数列
的前项和
的取值范围.

18、(本小题12分) 2014年2月，西非开始爆发埃博拉病毒疫情，埃博拉病毒是引起人类和灵长类动物发生埃博拉出血热的烈性病毒，引发了世界恐慌。中国国际救援组织立即采用分层抽样的方法从病毒专家、心理专家、地质专家三类专家中抽取若干人组成研究团队赴西非工作，有关数据见表1(单位：人).

病毒专家为了检测当地群众发烧与是否更易受博拉病毒疫情影响，在当地随机选取了
群众进行了检测，并将有关数据整理为不完整的
列联表(表2).

相关人员数

抽取人数



病毒专家

48





心理专家

24





地质专家

72

6



表1：

发烧

无发烧

合计



患Ebola

50



60



不患Ebola



40

50



合计









表2：

(1)求
；

(2)写出表中
的值，并判断是否有99.9%的把握认为疫情地区的群众发烧与患Ebola病毒有关；

(3)若从研究团队的病毒专家和心理专家中随机选人撰写研究报告，求其中恰好有人为病毒专家的概率.

临界值表：

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001





2.072

2.706

3.841

5.024

6. 635

7.879

10.828



19、(本小题12分) 已知函数
，
.

(1)求函数
的周期和最大值；

(2)设函数
在
的区间上的图像与轴的交点从左到右分别为
，图像的最高点为，求
与
的夹角
的余弦值.

20、(本小题12分)如图所示，一个直径
的半圆，过点作这个圆所在平面的垂线，在垂线上取一点
，使
，
为半圆上的一个动点，
分别在
上，且
.

(1)证明：
；

(2)证明：
面
；

(3)求三棱锥
体积的最大值.

21、(本小题14分)椭圆的两焦点坐标分别为
和
，且过点
.

(1)求椭圆方程；

(2)过点
作不与轴垂直的直线
交该椭圆于
两点，为椭圆的左顶点.试猜想
的大小是否为定值，定值为多少?如果是定值，请证明；如果不是，请说明理由.



选择题

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



A

B

B

C

A

D

C

C

D

C

B

B





二、填空题

13、
14、
15、
16、8

三、解答题

17、解：(1)依题意可知
……………………………………….4分

故
……………………………………………………………………6分

(2)
………………………………………………………….7分

…………………………………………………………..9分

………………………10分

显然增大，趋向无穷大，
变小，并且趋向

故当
时取最小值
，
………………………..……………..12分(酌情扣分)

18、解：(1)依题意可知，
，故
，…………………………2分

(2)
……...4分(错1个得1分，全对给2分)

假设
：疫情地区的群众发烧与患Ebola病毒无关

44.1
……….6分(计算约分时允许有
的误差)

故有
的把握认为疫情地区的群众发烧与患Ebola病毒有关……………………7分

(3)给病毒专家编号为1，2，3，4，心理专家为
，则随机选人撰写研究报告，包含的基本事件有(1,2)，(1.3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)，(1,a)，(1,b)，(2,a)，(2,b)，(3,a)，(3,b)，(4,a)，(4,b)，(a,b)共15种……………………………………………………….……..…10分

记事件为：随机选人撰写研究报告，求其中恰好有人为病毒专家，

则事件包含的基本事件为(1,a)，(1,b)，(2,a)，(2,b)，(3,a)，(3,b)，(4,a)，(4,b)共8种.

故
………………………………………………………………………..………12分

19、解：依题意可知
……………………..2分

(1)
，故
的最小正周期为……………………………………………4分

令
，则
，
…………………………………………5分

………………………………………………………………6分

(2) 令
，则
，
………………………………………..…….7分

故在
的区间上的图像与轴的交点从左到右分别
，
…..8分

由(1)可知，区间
上最高点为
………………………………………………...9分

，
…………………………………………..………10分

故
…………...…..12分

令
，得
，

故
的单调递增区间为
，
……………………12分

(2)

…………………………..9分(该步骤方法雷同)

(3)
.由
，得到
，而
，

为斜边长为
的直角三角形，………………………………10分

面积最大在
时取得………………………………………11分

所以，
…………..12分

21、解：(1)依题意椭圆的焦点在轴上，设椭圆方程为
…….1分

，
………………………………………………………………….2分

又椭圆过点
，

化简得

故
或
(舍)…………………………………………………………………….4分

椭圆方程为
……………………………………………………………………..5分

(2)猜想：
为定值
………………………………………………………………..6分

方法一：由(1)可知

由于直线
不与轴垂直，则设
……………………………………………..7分

……………………………………………8分

，
………………………………………….9分

………..10分

…………………………………………………11分

由
，
，得

…………………………….13分

故
，即
……………………………………………………14分

方法二：

①若直线

轴，则设
………………………………………………….6分

即

，
…………………………………………………………7分

故
，即
………………………………………………………8分

②若直线
不垂直于轴，则设

剩余部分酌情给分.

22、解：依题意可知
的定义域为
，………………………………..1分

且
………………………………….…………………………..3分

(1)当
时，

令
，则

故
的单调递减区间为
……………………..……………………………5分

(2) 由
，得
………………..7分

当
，即
时，可知曲线
的切线斜率取最小值，切点

切线
的方程为
…………………….…………………………………….9分

(3)令
，得方程的根
，则显然满足

故
，
且
，得
…………….12分