2015年1月襄阳市普通高中调研统一测试

数学(理工类)参考答案及评分标准

说明

1．本解答列出试题的一种或几种解法，如果考生的解法与所列解法不同，可参照解答中评分标准的精神进行评分。

2．评阅试卷，应坚持每题评阅到底，不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅。当考生的解答在某一步出现错误，影响了后继部分，但该步以后的解未改变这一题的内容和难度时，可视影响程度决定后面部分的给分，这时原则上不应超过后面部分应给分数的一半，如果有较严重的概念性错误，就不给分。

3．解答题中右端所标注的分数，表示考生正确做到这一步应得的该题分数。

一．选择题：BCACB DDBAC

二．填空题：11．3　　12．1　　13．
　　14．(1) (0，2)　2分 (2)
　3分　　　　　　15．45°　　16．1

三．解答题：

17．(1)解：当
时，由图象知：A = 2，
∴
，故
2分又
过
，∴
∴
4分∵函数y = f (x)的图象关于直线
对称，∴
6分当
时，
，∴
∴
8分

(2)解：∵
，∴由
得：
因此，
10分
　　　　　
． 12分

18．(1)证：由
得：
2分∴
即
4分又
∴数列{bn}是首项为2，公差为2的等差数列． 6分

(2)解：由(1)知，
，∴
8分记
，则
两式相减得：
10分　　　　　　　　
∴
因此，
12分

19．(1)解：
，∵
，∴a = 1?????????? 2分令
得：x > 0；令
得：x < 0????? 4分∴f (x)的单调递增区间为(0，+∞)；单调递减区间为(－∞，0)????? 6分

(2)解：∵
∴当x1 < x2时，有：
?　当x1 > x2时，有：
8分令
，则F(x)在R上单调递增?????????? 9分∴
，即
在R上恒成立?????????? 10分而
(当且仅当x = 0时取“=”)∴m≤0．???????????????????????????? 12分

20．(1)证：∵PA⊥平面ABC，BC在平面ABC内，∴PA⊥BC? 1分又∵AD⊥平面PBC，BC在平面ABC内?，∴AD⊥BC 2分PA、AD在平面PAB内且相交于A，∴BC⊥平面PAB 3分而PB在平面PAB内，∴BC⊥PB． 4分

(2)解：由(1)知BC⊥平面PAB，AB在平面PAB内，∴BC⊥AB∵AD⊥平面PBC，其垂足D落在直线PB上，∴AD⊥PB?设PA = x，则
6分以
为x轴、z轴建立空间直角坐标系，则B(2，0，0)，Q(1，1，0)，P(0，0，
)，C(2，2，0) 
设平面PBQ的法向量为n = (x，y，z)，则
∴
8分在Rt△ABD中，
，AB = 2，则BD = 1∴

10分由已知
是平面PBC的法向量
　　　　　　
∴二面角Q－PB－C的余弦值为
12分

另：……∴
8分设平面PBC的法向量为m = (x，y，z)，则
= (0，2，0)
∴
10分
∴二面角Q－PB－C的余弦值为
12分

21．(1)解：在方程
中令y = 0得：
∴A(
，0)，B(
，0) 2分设P(x，y)，则
整理得：
∴动点P的轨迹C的方程为
4分

(2)解：设直线MN的方程为：y = kx + m，M(x1，y1)，N(x2，y2)由
得：
5分∴

6分∵
，∴
即
7分
8分∴
9分当直线MN的斜率不存在时，设M(x1，y1)，则N(x1，－y1)则
10分又
，∴


∴
的最大值为2 11分

当直线MN的斜率不存在时，
∴△OMN的面积为
． 13分

22．(1)解：
，
∴f (x)在点(0，f (0))处的切线方程为y = x 2分由
得：
∵y = x与函数g (x)的图象相切，∴
，b =－1或b = 3 4分

(2)解：当b =－2时，

5分当x∈[0，1]时，
，∴h (x)在[0，1]上单调递增
6分∴
7分∵(x1、x2∈[0，1]使得h (x1)－h (x2)≥M成立∴M的最大值是1 + ln2 8分

(3)证：因为h (x)的图象与x轴交于两个不同的点A (x1，0)、B(x2，0)所以方程
的两个根为x1、x2，故
两式相减得：
10分

要证：
，即
也就是
令
，则
在(0，1)上恒成立 12分∵
又0 < t < 1，∴
因此u (t)在(0，1)上是增函数，则u (t) < u (1) = 0，即
故
，即
成立 14分