湖州市2014-2015学年度第一学期期末考试

高三数学卷（理）

一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）

1、已知等差数列
的前
项和为
，若
，则
（ ）

A．
B．
C．
D．

2、“
”是“函数
为偶函数”的（ ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

3、函数
的单调递增区间为（ ）

A．
B．
C．
D．

4、已知
，
是两条不同的直线，
是一个平面，则下列命题正确的是（ ）

A．若
，
，则
B．若
，
，则

C．若
，
，则
D．若
，
，则

5、若圆

与
，
轴都有公共点，则实数
的取值范围是（ ）

A．
B．
C．
D．

6、已知函数
，若存在非零实数
，使得
成立，则实数
的取值范围是（ ）

A．
B．
C．
D．

7、已知实数
，
满足
，若
的最大值为
，则实数
的取值范围是（ ）

A．
B．
C．
D．

8、已知
、
分别是双曲线

（
，
）的左、右焦点，且
是抛物线

（
）的焦点，双曲线
与抛物线
的一个公共点是
．若线段
的中垂线恰好经过焦点
，则双曲线
的离心率是（ ）

A．
B．
C．
D．

二、填空题（本大题共7小题，第9-12题，每小题6分，第13-15题，每小题4分，共36分．）

9、已知全集为
，集合
，
，则
；
；
．

10、若函数
，则
；
．

11、若函数
，则
的最小正周期为 ；
．

12、已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 ；表面积为 ．

13、在
中，
，
，
，
是边
上的动点（含
，
两个端点）．若
（
，
），则
的取值范围是 ．

14、已知棱长为
的正四面体可以在一个单位正方体（棱长为
）内任意地转动．设
，
分别是正四面体与正方体的任意一顶点，当
达到最大值时，
，
两点间距离的最小值是 ．

15、设
，集合
，
，若
（
为实数集），则实数
的取值范围是 ．

三、解答题（本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）

16、（本小题满分15分）在
中，角
，
，
的对边分别为
，
，
，且
．已知向量
，
，且
．

若
，求边
的值；

求
边上高
的最大值．

17、（本小题满分15分）如图，在四棱锥
中，
，
平面
，
，
，
．

求证：平面
平面
；

若点
在棱
上的射影为点
，求二面角
的余弦值．

18、（本小题满分15分）已知二次函数
（
，
）．

若
，且不等式
对
恒成立，求函数
的解析式；

若
，且函数
在
上有两个零点，求
的取值范围．

19、（本小题满分15分）已知椭圆

（
）的右焦点为
，上顶点为
．

过点
作直线与椭圆
交于另一点
，若
，求
外接圆的方程；

若过点
作直线与椭圆
相交于两点
，
，设
为椭圆
上动点，且满足
（
为坐标原点）．当
时，求
面积
的取值范围．

20、（本小题满分14分）已知数列
的前
项和记为
，且满足
．

求数列
的通项公式；

设
，记
，求证：
．

湖州市2014-2015学年度第一学期期末考试

高三数学卷（理）参考答案

选择题（本大题共有8小题，每小题5分，共40分）

题号

1

2

3

4

5

6

7

8



答案

C

A

D

C

D

B

C

A



二、填空题(本大题共7小题，9——12每题6分，13——15题每题4分，共36分.)

9.
；
；
10.
；

11.
；
12.
；

13.
14.
15.

三、解答题(本大题共5小题，共74.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)

16．解：(Ⅰ)方法一：由
，得
，--------------------------------2分

即
,得
，-----------------------------------------------4分

又
，所以
，故
，即
.--------------6分

结合
，得

由正弦定理
得,
．----------------------------------------------------8分

方法二: 由
，得
，----------------------------------------------2分

则
，又
，故
，

即
，--------------------------------------------------------------------------------------4分

又
，所以
，故
，即
.--------------------------------6分

结合
，得
.

由正弦定理
得，
．-------------------------------------------------------8分

(Ⅱ) 设
边上的高为
，则
，----------10分

即
，
， -----------------14

（等号成立当且仅当
）

所以
，因此
，

所以
边上的高
的最大值为
． -----------------------------------------------15分

17．（Ⅰ）证明：因为
平面
，所以
， …………………………2分

又因为
，所以
平面
， ………………………4分

所以平面
平面
. …………………………5分

（Ⅱ）解法1：先考查二面角
和二面角
，

因为
面
，所以
，又因为
，

所以
面
，所以
，
，

所以
即二面角的
一个平面角， ……………………7分

因为
， ……………………9分

， ……………………11分

所以
，

所以
……………………12分

……………………13分

， ……………………14分

所以
，

所以二面角
的余弦值为
． ……………………15分

解法2：因为
面