湖州市2014-2015学年度第一学期期末考试

高三数学卷（文）

一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）

1、已知等差数列
的前
项和为
，若
，则
（ ）

A．
B．
C．
D．

2、“
”是“
”的（ ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

3、函数
的单调递增区间为（ ）

A．
B．
C．
D．

4、已知
，
是两条不同的直线，
是一个平面，则下列命题正确的是（ ）

A．若
，
，则
B．若
，
，则

C．若
，
，则
D．若
，
，则

5、为了得到函数
的图象，可以将函数
的图象（ ）

A．向右平移
个单位 B．向右平移
个单位

C．向左平移
个单位 D．向左平移
个单位

6、已知函数
，若存在非零实数
，使得
成立，则实数
的取值范围是（ ）

A．
B．
C．
D．

7、已知实数
，
满足
，若
的最大值为
，则实数
的取值范围是（ ）

A．
B．
C．
D．

8、已知
、
分别是双曲线

（
，
）的左、右焦点，且
是抛物线

（
）的焦点，双曲线
与抛物线
的一个公共点是
．若线段
的中垂线恰好经过焦点
，则双曲线
的离心率是（ ）

A．
B．
C．
D．

二、填空题（本大题共7小题，第9-12题，每小题6分，第13-15题，每小题4分，共36分．）

9、已知全集为
，集合
，
，则
；
；
．

10、若函数
，则
的最小正周期为

；
．

11、已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 ；表面积为 ．

12、如图，在四棱锥
中，
平面
，
，
，
，则异面直线
与
所成角的大小为 ；直线
与平面
所成角的正弦值为 ．

13、已知两圆

与

，动圆
与这两个圆都内切，则动圆的圆心
的轨迹方程为 ．

14、在
中，
，
，
，
是边
上的动点（含
，
两个端点）．若
（
，
），则
的取值范围是 ．

15、若函数
的定义域和值域都是
，则实数
．

三、解答题（本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）

16、（本小题满分15分）在
中，角
，
，
的对边分别为
，
，
，且
．

求角
；

求
的取值范围．

17、（本小题满分15分）如图，在四棱锥
中，
，
平面
，
，
，
．

求证：平面
平面
；

若点
在棱
上的射影为点
，求二面角
的余弦值．

18、（本小题满分15分）已知二次函数
（
，
）．

若
，且不等式
对
恒成立，求函数
的解析式；

若
，且函数
在
上有两个零点，求
的取值范围．

19、（本小题满分15分）设数列
的前
项和记为
，对任意正整数
满足
．

求数列
的通项公式；

设
，记数列
的前
项和为
，若不等式
对任意正整数
恒成立，求实数
的取值范围．

20、（本小题满分14分）已知抛物线

和直线

，直线
与
轴的交点为
，过点
的直线交抛物线
于
，
两点，与直线
交于点
．

记
的面积为
，求
的取值范围；

设
，
，求
的值．

湖州市2014-2015学年度第一学期期末考试

高三数学卷（文）参考答案

选择题（本大题共有8小题，每小题5分，共40分）

题号

1

2

3

4

5

6

7

8



答案

C

A

C

C

D

B

D

B



二、填空题(本大题共7小题，第9—12题，每题6分，第13—15题每题4分，共36分．)

9、
，
，
10、
,

11、
，
12、
,

13、
14、
15、

三、解答题（本大题共5小题，共74分）

16．解：（Ⅰ）由
得
， ………………………………2分

化简得：
即
，

所以
． ………………………………5分

故
． ………………………………7分

（Ⅱ）
………………………………8分

=
， ………………………………9分

=
， ……………………………………11分

=
， …………………………13分

由
可知
，

所以
， ……………………………………14分

故
．

故
．

所以
． ………………………15分

17．（Ⅰ）证明：因为
平面
，所以
， …………………………2分

又因为
，所以
平面
， ………………………4分

所以平面
平面
. …………………………5分

（Ⅱ）解法1：先考查二面角
和二面角
，

因为
面
，所以
，又因为
，

所以
面
，所以
，
，

所以
即二面角的
一个平面角， ……………………7分

因为
， ……………………9分

， ……………………11分

所以
，

所以
……………………12分

……………………13分

， ……………………14分

所以
，

所以二面角
的余弦值为
． ……………………15分

（Ⅱ）解法2：

因为
面
，所以
，又因为

所以
面
，所以
，

所以
即二面角
的一个平面角 ………………8分

因为
，所以
，
……………………10分

所以
，
………………12分

又因为直角梯形
可得
……………………13分

所以
…………………………14分

所以

所以二面角
的余弦值为
． ………………………15分

解法3：如图所示，以
为
轴，以
为
轴，过
作
轴，建立空间直角坐标系，则可知
，
，
，
，