荆门市2014-2015学年度高三年级元月调研考试数学（理）

本试卷共4页，21题。全卷满分150分。考试用时120分钟。

★祝考试顺利★

注意事项：

1、答卷前，先将自己的学校、班级、姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2、选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3、非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4、考试结束后，请将答题卡上交。

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分． 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．集合
，则

A．
B．
C．
D．

2．下列命题中，真命题是

A．
，使得
B．

C．
D．
是
的充分不必要条件

3．要得到函数
的图象，只需将函数
的图象

A．向右平移
个单位长度 B．向左平移
个单位长度

C．向右平移
个单位长度 D．向左平移
个单位长度

4．对于函数
若
，则函数
在区间
内

A．一定有零点 B．一定没有零点

C．可能有两个零点 D．至多有一个零点

5．设
, 对于使
成立的所有常数M中，我们把M的最小值1叫做
的上确界. 若
，且
，则
的上确界为

A．
B．
C．
D．

6．某几何体的三视图如图所示，其中俯视图是半圆，则该几何体的表面积为

A．
B．
C．
D．

7．点
是如图所示的坐标平面的可行域内（阴影部分且包括边界）的任意一点，若目标函数 z＝x＋ay取得最小值的最优解有无数个，则
的最大值是

A．
B．
C．
D．

8. 在直角坐标平面上，
, 且
与
在直线l的方向向量上的投影的长度相等，则直线l的斜率为

A．
B．
C．
或
D．

9．对于一个有限数列
，的蔡查罗和（蔡查罗是一位数学家）定义为
，其中
．若一个99项的数列（
的蔡查罗和为1000，那么100项数列
的蔡查罗和为

A．991 B．992 C．993 D．999

10．设双曲线
的右焦点为，过点作与轴垂直的直线
交两渐近线于
两点，且与双曲线在第一象限的交点为，设为坐标原点，若
，
，则双曲线的离心率为

A．
B．
C．
D．

二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上，答错位置，书写不清，模棱两可均不得分)

11．已知函数
，若
，则
▲ ．

12．由直线
上的点向圆
引切线，则切线长的最小值为 ▲ ．

13．若函数
在其定义域内的一个子区间
内存在极值，则实数的取值范围 ▲ ．

14．在弹性限度内，拉伸弹簧所用的力与弹簧伸长的长度成正比．如果
的力能使弹簧伸长
，则把弹簧从平衡位置拉长
（在弹性限度内）时所做的功为 ▲ （单位：焦耳）.

15．已知：对于给定的
及映射
，若集合
，且
中所有元素在B中对应的元素之和大于或等于，则称
为集合的好子集．

①对于
，映射
，那么集合的所有好子集的个数为 ▲ ；

②对于给定的，
，映射
的对应关系如下表：

1

2

3

4

5

6





f(x)

1

1

1

1

1

y

z



若当且仅当
中含有和至少中3个整数或者
中至少含有中5个整数时，
为集合的好子集，则所有满足条件的数组
为 ▲ ．

三、解答题（本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

16．（本小题满分12分）

已知向量
，设函数
．

（Ⅰ）求
在区间
上的零点；

（Ⅱ）在△
中，角
的对边分别是
，且满足
，求
的取值范围．

17．（本小题满分12分）

已知等比数列
满足：
，且
是
的等差中项.

（Ⅰ）求数列
的通项公式；

（Ⅱ）若数列{an}是单调递增的，令
，
…
，求使
成立的正整数的最小值．

18．（本小题满分12分）

如图，在四棱锥
中，底面
是正方形，
底面
，
, 点
是
的中点，
，且交
于点．

（Ⅰ）求证:
平面
；

（Ⅱ）求证：平面
⊥平面
；

（Ⅲ）求二面角
的余弦值．

19．（本小题满分12分）

某创业投资公司拟投资开发某种新能源产品，估计能获得投资收益的范围是
（单位:万元）．现准备制定一个对科研课题组的奖励方案：奖金（单位:万元）随投资收益（单位:万元）的增加而增加，且奖金不超过万元，同时奖金不超过投资收益的20%．

（Ⅰ）若建立函数模型
制定奖励方案，请你根据题意，写出奖励模型函数应满足的条件；

（Ⅱ）现有两个奖励函数模型：
；
．试分析这两个函数模型是否符合公司要求．

20．（本小题满分13分）

如图，已知圆E:
，点
，P是圆E上任意一点．线段PF的垂直平分线和半径PE相交于Q．

（Ⅰ）求动点Q的轨迹的方程；

（Ⅱ）设直线与(Ⅰ)中轨迹相交于
两点, 直线
的斜率分别为
(其中
)．△
的面积为, 以
为直径的圆的面积分别为
．若
恰好构成等比数列, 求
的取值范围．

21．(本小题满分14分)

设函数
，
．

（Ⅰ）讨论函数
的单调性；

（Ⅱ）若存在
，使得
成立，求满足条件的最大整数
；

（Ⅲ）如果对任意的
，都有
成立，求实数的取值范围．

荆门市2014-2015学年度高三年级元月调研考试

数学(理)参考答案及评分标准

一、选择题：（每小题5分，10小题共50分）

1. B 2. D 3. B 4. C 5. D 6. A 7.B 8. C 9. D 10. A

二、填空题（每小题5分，5小题共25分）

11．
； 12．
； 13．
； 14．
； 15．①5，②
.

三、解答题:(本大题共6小题，共75分)

16．因为
，函数
．

所以
………………………2分

………………………4分

（Ⅰ）由
，得
．

，或

，或
………………………6分

又
，
或．

所以
在区间
上的零点是
和． ………………………8分

（Ⅱ）在△
中，
，所以
．

由
且
，得
从而
……………10分

，
． ………………12分

17. （Ⅰ）设等比数列
的首项为
，公比为

依题意，有
，代入
，可得
，………2分

，
解之得
或
…………4分

当
时，
； 当
时，
．

数列
的通项公式为
或
． …………………6分

(Ⅱ)∵等比数列{an}是单调递增的，
，
，

③ ………………………8分

④ 由③－④，得

………………………10分

即
，即

易知：当
时，
，当
时，

故使
成立的正整数的最小值为5. ……………………12分

18.(选修2一1第109页例4改编)

方法一：（Ⅰ）证明：连结
交
于，连结
．

是正方形，∴是
的中点．

是
的中点，∴
是△
的中位线．

∴
． ………………………2分

又
平面
，
平面
，

∴

平面
． ………………………4分

（Ⅱ）证明：由条件有

∴
平面
，且
平面
∴

又∵
是
的中点，∴

∴
平面

平面
∴
……………6分

由已知
∴
平面

又
平面
∴平面
平面
……………………8分

（Ⅲ）取
中点，则


．作
于
，连结
．

∵
底面
，∴
底面
．

∴
为
在平面
内的射影．

∵
,∴

．

∴
为二面角
的平面角． ………………………10分

设
，在
中，
，

∴
．