荆门市2014-2015学年度高三年级元月调研考试数 学（文）

本试卷共4页，22题。全卷满分150分。考试用时120分钟。

★祝考试顺利★

注意事项：

1、答卷前，先将自己的学校、班级、姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2、选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3、非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4、考试结束后，请将答题卡上交。

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分． 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．集合
，则

A．
B．
C．
D．

2．下列命题中，真命题是

A．
，使得
B．

C．
D．
是
的充分不必要条件

3．若，是两条不重合的空间直线，是平面，则下列命题中正确的是

A．若
，
，则
B．若
，
，则

C．若
，
，则
D．若
，
，则

4．要得到函数
的图象，只需将函数
的图象

A．向右平移
个单位长度 B．向左平移
个单位长度

C．向右平移
个单位长度 D．向左平移
个单位长度

5．对于函数
若
，则函数
在区间
内

A．一定有零点 B．一定没有零点

C．可能有两个零点 D．至多有一个零点

6．曲线
在点
处的切线与坐标轴所围三角形的面积为

A．
B．
C．
D．

7．点
是如图所示的坐标平面的可行域内（阴影部分

且包括边界）的任意一点，若目标函数
取得最

小值的最优解有无数个，则
的最大值是

A．
B．

C．
D．

8．在平面直角坐标平面上，
，且
与
在直线l的方向向量上的投影的长度相等，则直线l的斜率为

A．
B．
C．
或
D．

9．对于一个有限数列
，的蔡查罗和（蔡查罗是一位数学家）定义为
，其中
，若一个99项的数列（
的蔡查罗和为1000，那么100项数列
的蔡查罗和为

A．991 B．992 C．993 D．999

10．设双曲线
的右焦点为，过点作与轴垂直的直线
交两渐近线于
两点，且与双曲线在第一象限的交点为，设
为坐标原点，若
，
，则双曲线的离心率为

A．
B．
C．
D．

二、填空题(本大题共7小题，每小题5分，共35分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上，答错位置，书写不清，模棱两可均不得分)

11．若
，若
，则
▲ ．

12．在△ABC中，若
∶
∶

∶
∶
，则角
▲ ．

13．已知克糖水中含有克糖（
），若再添加克糖（
），则糖水就变得更甜了．试根据这一事实归纳推理得一个不等式 ▲ ．

14．由直线
上的点向圆
引切线，

则切线长的最小值为 ▲ ．

15．某几何体的三视图如图所示，其中俯视图是半圆，

则该几何体的表面积为 ▲ ．

16．若函数
在其定义域内的一个子区间

内存在极值，则实数的取值范围 ▲ ．

17．已知函数
．

①若
，使
成立，则实数的取值范围为 ▲ ；

②若
，
使得
，则实数的取值范围为 ▲ ．

三、解答题(本大题共5小题，共65分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

18．（本小题满分12分）

已知向量
，设函数

（Ⅰ）求
在区间
上的零点；

（Ⅱ）若角是△
中的最小内角，求
的取值范围．

19．（本小题满分12分）

已知等比数列
满足：
，且
是
的等差中项．

（Ⅰ）求数列
的通项公式；

（Ⅱ）若数列{an}是单调递增的，令
，
，求使

成立的正整数的最小值．

20．（本小题满分13分）

如图，在四棱锥
中，底面
是正方形，
底面
，
, 点
是
的中点，
，且交
于点．

（Ⅰ）求证:
平面
；

（Ⅱ）求证：直线
平面
；

（Ⅲ）求直线
与平面
所成角的余弦值．

21．（本小题满分14分)

某创业投资公司拟投资开发某种新能源产品，估计能获得投资收益的范围是
（单位:万元）．现准备制定一个对科研课题组的奖励方案：奖金（单位:万元）随投资收益（单位:万元）的增加而增加，且奖金不超过万元，同时奖金不超过投资收益的20%．

（Ⅰ）若建立函数模型
制定奖励方案，请你根据题意，写出奖励模型函数应满足的条件；

（Ⅱ）现有两个奖励函数模型：
；
．试分析这两个函数模型是否符合公司要求．

22．（本小题满分14分）

如图，已知圆E:
，点
，P是圆E上任意一点．线段PF的垂直平分线和半径PE相交于Q．

（Ⅰ）求动点Q的轨迹的方程；

（Ⅱ）设直线
与(Ⅰ)中轨迹相交于
两点，直线
的斜率分别为

．△
的面积为
，以
为直径的圆的面积分别为
．若
恰好构成等比数列，求
的取值范围．

荆门市2014-2015学年度高三年级元月调研考试

数学(文)参考答案及评分标准

一、选择题：（每小题5分，10小题共50分）

1．B 2．D 3．C 4．B 5．C 6．A 7．B 8．C 9．D 10．A

二、填空题：（每小题5分，5小题共25分）

11．
； 12．
； 13 ．
（
且
）； 14．
； 15．π＋ 16．
； 17．①
；②
．

三、解答题:(本大题共6小题，共75分)

18．因为向量
，函数
．

所以
…………………2分

………………………4分

（1）由
，得
．

， 或
…………………6分

， 或
，又
，
或．

所以
在区间
上的零点是
、． ………………………8分

（2）由已知得
从而
……………………………………10分

，
………………12分

19. （1）设等比数列
的首项为
，公比为

依题意，有
，代入
，

可得
， …………………………………………………………………………2分

，
解之得
或
……………4分

当
时，
； 当
时，
．

数列
的通项公式为
或
． ………………………6分

（2）∵等比数列{an}是单调递增的，
，
，

③ …………………………………8分

④ 由③－④，得

……………………10分

即
，即

易知：当
时，
，当
时，

故使
成立的正整数的最小值为5. ………………………12分

20. (选修2一1第109页例4改编)

方法一：（Ⅰ）证明：连结
交
于，连结
．

是正方形，∴是
的中点．

是
的中点，∴
是△
的中位线．

∴
． ………………………2分

又∵
平面
，
平面
，

∴

平面
． ………………………4分

（Ⅱ）证明：由条件有

∴
平面
，∴
………………………6分

又∵
是
的中点，∴

∴
平面
∴

由已知
，∴
平面
………………………8分

（Ⅲ）由(Ⅱ)知
面
，则直线
在面
内的射影为
，

∴
为所求的直线
与面
所成的角． …………………10分

又
，∴在
中
∴

又

由
可得
∴
．∴

…………………12分

∴直线
与平面
所成角的余弦值为
． …………………13分

21． (必修一第127页例2改编)

（Ⅰ）设奖励函数模型为
，则该函数模型满足的条件是：

①当
时，
是增函数；

②当
时，
恒成立；

③当
时，
恒成立． ………………………5分

（Ⅱ）（1）对于函数模型
，它在
上是增函数，满足条件①；

但当
时，
，因此，当
时，
，不满足条件②；

故该函数模型不符合公司要求． ………………………8分

（2）对于函数模型
，它在
上是增函数，满足条件①

时
，即
恒成立，满足条件②……10分

设
，则
，又