北京市朝阳区2014-2015学年度高三年级第一学期期末统一考试

数学试卷（理工类） 2015．1

（考试时间120分钟 满分150分）

本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分

第一部分（选择题 共40分）

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．

1．设
为虚数单位，则复数
在复平面内对应的点所在的象限是

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

2. 过抛物线
的焦点
的直线
交抛物线于
两点．若
中点
到抛物线准线的距离为6，则线段
的长为

A．
B．
C．
D．无法确定

3．设函数
的图象为
，下面结论中正确的是

A．函数
的最小正周期是

B．图象
关于点
对称

C．图象
可由函数
的图象向右平移
个单位得到

D．函数
在区间
上是增函数

4．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的全面积是

A．
B．

C．
D．

5．
表示不重合的两个平面，
，
表示不重合的两条直线．若
，
，
，则“
∥
”是“
∥
且
∥
”的

A．充分且不必要条件 B．必要且不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

6．在
中，
，则
的最大值是

A．
B．
C．
D．

7．点
在
的内部，且满足
，则
的面积与
的面积之比是

A．
B． 3 C．
D．2

8.设连续正整数的集合
，若
是
的子集且满足条件：当
时，
，则集合
中元素的个数最多是（ ）

A.
B.
C.
D.

第二部分（非选择题 共110分）

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡上．

9．角
的顶点在坐标原点，始边与
轴的非负半轴重合，终边经过点
，则
的值是 ．

10．双曲线
（
）的离心率是 ；渐近线方程是 ．

11．设不等式组
表示平面区域为
，在区域
内随机取一点
，则点
落在圆
内的概率为 ．

12．有一口大钟每到整点就自动以响铃的方式报时，1点响1声，2点响2声，3点响3声，……，12点响12声（12时制），且每次报时时相邻两次响铃之间的间隔均为1秒．在一次大钟报时时，某人从第一声铃响开始计时，如果此次是12点的报时，则此人至少需等待 秒才能确定时间；如果此次是11点的报时，则此人至少需等待 秒才能确定时间．

13．在锐角
的边
上有异于顶点
的6个点，边
上有异于顶点
的4个点，加上点
，以这11个点为顶点共可以组成 个三角形（用数字作答）．

14．已知函数
．下列命题：

①函数
既有最大值又有最小值；

②函数
的图象是轴对称图形；

③函数
在区间
上共有7个零点；

④函数
在区间
上单调递增．

其中真命题是 ．（填写出所有真命题的序号）

三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．

15．（本小题满分13分）

退休年龄延迟是平均预期寿命延长和人口老龄化背景下的一种趋势.某机构为了解某城市市民的年龄构成，从该城市市民中随机抽取年龄段在20~80岁（含20岁和80岁）之间的600人进行调查，并按年龄层次[20,30)，[30,40)，[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80]绘制频率分布直方图，如图所示.若规定年龄分布在[20,40)岁的人为“青年人”，[40,60)为“中年人”， [60,80]为“老年人”.

（Ⅰ）若每一组数据的平均值用该区间中点值来代替，试估算所调查的600人的平均年龄；

（Ⅱ）将上述人口分布的频率视为该城市在20-80年龄段的人口分布的概率．从该城市20-80年龄段市民中随机抽取3人，记抽到“老年人”的人数为
，求随机变量
的分布列和数学期望．

1 6．（本小题满分14分）

如图，在四棱锥
中，底面
是正方形，侧面
底面
，
，点
是
的中点，点
在边
上移动．

（Ⅰ）若
为
中点，求证：
//平面
；

（Ⅱ）求证：
；

（Ⅲ）若
，二面角
的余弦值等于
，试判断点
在边
上的位置，并说明理由.

17．（本小题满分13分）

若有穷数列
，
，
（
是正整数）满足条件：
，则称其为“对称数列”．例如，
和
都是“对称数列”．

（Ⅰ）若
是25项的“对称数列”，且


，
是首项为1，公比为2的等比数列．求
的所有项和
；

（Ⅱ）若
是50项的“对称数列”，且


，
是首项为1，公差为2的等差数列．求
的前
项和
，
.

18．（本小题满分13分）

设函数
．

（Ⅰ）当
时,求函数
的单调区间；

（Ⅱ）设
为
的导函数，当
时，函数
的图象总在
的图象的上方，求
的取值范围．

19．（本小题满分14分）

已知椭圆
过点
，离心率为
．过椭圆右顶点
的两条斜率乘积为
的直线分别交椭圆
于
两点．

（Ⅰ）求椭圆
的标准方程；

（Ⅱ）直线
是否过定点
？若过定点
，求出点
的坐标；若不过，请说明理由．

20．（本小题满分13分）

已知函数
，
，
，

,且
．

（Ⅰ）当
，
，
时，若方程
恰存在两个相等的实数根，求实数
的值；

（Ⅱ）求证：方程
有两个不相等的实数根；

（Ⅲ）若方程
的两个实数根是

，试比较
与
的大小并说明理由．