本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时长120分钟.

第Ⅰ卷

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）

1．设集合
则 （ ）

（A）
（B）
（C）
（D）

2．若复数
（
为虚数单位）是纯虚数，则实数的值为 （ ）

（A）
（B） （C）
（D）

3．函数
是 （ ）

（A）最小正周期为的奇函数 （B） 最小正周期为
的奇函数

（C）最小正周期为的偶函数 （D）最小正周期为
的偶函数

4．抛物线
的准线方程是
，则实数的值为 （ ）

（A）-4 （B）4 （C）
（D）

5．等比数列
中，前项的和为
，已知
，则
等于 （ ）

（A）
（B）9或
（C）
（D）9或

6．设
是空间两条直线，,
是空间两个平面，则下列选项中不正确的是( )

（A）当
时，“
”是“
”的必要不充分条件

（B）当
时，“
”是“
”的充分不必要条件

（C）当
时， “
”是“∥
”成立的充要条件

（D）当
时，“
”是“
”的充分不必要条件

7．甲乙两位同学在高二的5次月考中数学成绩统计如茎叶图所示，若甲乙两人的平均成绩分别是
，则下列正确的是 ( )

（A）
；甲比乙成绩稳定

（B）
；乙比甲成绩稳定

（C）
；甲比乙成绩稳定

（D）
；乙比甲成绩稳定

8. 曲线
与直线
及
所围成的封闭图形的面积为 （ ）

(A)
(B)
(C)
(D)

9．函数
的图象是 ( )

10. 若定义在R上的偶函数
满足
且
时,
则方程
的零点个数是 （ ）

（A）2个 （B）3个 （C）4个 （D）6个

11.在
中，
，已知是
边上一点，
平分
，
则 （ ）

(A)
(B)
(C)
(D)

12. 设点P在曲线
上，点Q在曲线
上，则|PQ|最小值为 ( )

(A)
(B)
(C)
（D）

宁城县高三年级第2次统一考试（2014.12）

数学试题（理科）

第Ⅱ卷（非选择题共90分）

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置．

13．执行右边的程序框图，如果输入＝4，那么输出的n的值为

_________________________;

14．
的展开式中
的系数是_____________;

15．已知实数
的最小值为 ．

16．已知数列
前项的和为
,
,则
= ．

三、解答题（共6小题，70分，须写出必要的解答过程）

17．（本小题满分12分）

在
中，
的对边分别为
，且
．

(1）求
的值；

(2）若
，
，求和．

18．（本小题满分12分）

正方形
与梯形
所在平面互相垂直，
，
，点
在线段
上且不与
重合.

（Ⅰ）当点M是EC中点时，求证：BM//平面ADEF；

（Ⅱ）当平面BDM与平面ABF所成锐二面角的余弦值为
时，求三棱锥
的体积.

19．（本小题满分12分）

为了解我县中学生的体质状况，对天义地区部分中学生进行了身高、体重和肺活量的抽样调查.现随机抽取100名学生，测得其身高情况如下表所示.

(1）请在频率分布表中的①、②、③位置填上相应的数据，并补全频率分布直方图，再根据频率分布直方图估计众数的值；

（2）若按身高分层抽样，抽取20人参加庆“五一”全民健身运动，其中有3名学生参加越野比赛，记这3名学生中“身高低于
”的人数为
，求
的分布列及期望.

20.（本小题满分12分）

已知椭圆
经过点
，离心率为
，过点
的直线
与椭圆交于不同的两点
．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）求
的取值范围．

21．（本小题满分12分）

已知函数

（Ⅰ）若
，求函数
的极值和单调区间；

(II) 若在区间
上至少存在一点
，使得
成立，求实数的取值范围.

请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.

22.（本小题满分10分） 选修4—1；几何证明选讲．

如图,已知
切⊙于点E,割线PBA交⊙于

A、B两点,∠APE的平分线和AE、BE分别交于点C、D.

求证:(Ⅰ)
;

(Ⅱ)
.

23.（本小题满分10分）选修4—4；坐标系与参数方程．

在直角坐标系中,以原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线
过点P(-2,-4)的直线

（为参数)与曲线C相交于点M,N两点.

(Ⅰ)求曲线C和直线
的普通方程;

(Ⅱ)若|PM|,|MN|,|PN |成等比数列,求实数的值

24．（本小题满分10分）选修4—5；不等式选讲．

已知函数
.

(Ⅰ)当
时,求不等式
的解集;

(Ⅱ)若
对
恒成立,求实数的取值范围.

宁城县高三年级第2次统一考试（2014.12）

数学试题（理科）参考答案

(2）由
得
，又
，∴
......8分

由
，
可得
，............10分

∴
，即
，

∴
． ....................................12分

18．（Ⅰ）以
分别为
轴建立空间直角坐标系

则
-----------------2分

的一个法向量
----------------3分

，
。

即
------------------------------------------------5分

（Ⅱ）依题意设
，设面
的法向量

则
，

令
，则
， ---------------------------8分

面
的法向量

，解得
------10分

为EC的中点，
，到面
的距离

-------------------------------------12分

19．解：（1）：①②③处分别填5、35、0.350，众数是167.5
，------3分

补全频率分布直方图；-------2分

（2）：用分层抽样的方法，从中选取20人，则“身高低于
”的有5人.所以
的可能的值为0，1，2，3，则

；
；

；
；------------9分

0

1

2

3



P












---------------12分

20.（Ⅰ）解: 由离心率为
，可设
，则

因为
经过点

所以
，解得
，所以

椭圆方程为
…………………4分

（Ⅱ）由题意可知直线
的斜率存在，设直线
的方程为
，

直线
与椭圆的交点坐标为
…………………5分

由
消元整理得：
………7分

得
……………8分

，
…………………9分

………11分

因为
，所以

所以
的取值范围是
． …………………12分

21.解：（I）因为
， …………………2分

当
，
， 令
，得
，又
的定义域为
，

，
随的变化情况如下表：













0









极小值





 所以
时，
的极小值为1 . …………………4分

的单调递增区间为
，单调递减区间为
； …………………5分

（II）因为
，且
，

令
，得到
，

若在区间
上存在一点
，使得
成立，

其充要条件是
在区间
上的最小值小于0即可. …………………6分

（1）当
，即
时，
对
成立，

所以，
在区间
上单调递减，

故
在区间
上的最小值为
，

由
，得
，即
…………………8分

（2）当
，即
时，

① 若
，则
对
成立，所以
在区间
上单调递减，

所以，
在区间
上的最小值为
，

显然，
在区间
上的最小值小于0不成立 …………………10分

② 若
，即
时，则有























极小值





 所以
在区间
上的最小值为
，

由
，

得
，解得
，即
.

综上，由(1)（2）可知：
符合题意. …………………12分

23．解：（Ⅰ）曲线C及直线
的普通方程分别是
和