丰台区2014—2015学年度第一学期期末练习 2015.01

高三数学（理科）

第一部分 （选择题 共40分）

选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．

1．设集合
，
，那么

(A)

(B)

(C)

(D)



2．已知向量
，
，则“
且
”是“
”的

(A) 充分不必要条件

(B) 必要不充分条件



(C) 充分必要条件

(D) 既不充分也不必要条件



3．高二年级某研究性学习小组为了了解本校高一学生课外阅读状况，分成了两个调查小组分别对高一学生进行抽样调查．假设这两组同学抽取的样本容量相同且抽样方法合理，则下列结论正确的是

(A) 两组同学制作的样本频率分布直方图一定相同



(B) 两组同学的样本平均数一定相等



(C) 两组同学的样本标准差一定相等



(D) 该校高一年级每位同学被抽到的可能性一定相同



4．已知a，b，c分别是△ABC三个内角A，B，C的对边，
，
，
，那么a等于

(A) 1

(B) 2

(C) 4

(D) 1或4



5．已知函数
（b>0且b≠1）的图象如图所示，那么函数

的图象可能是

(A)



(B)





(C)



(D)



6．2014年11月，北京成功举办了亚太经合组织第二十二次领导人非正式会议，出席会议的有21个国家和地区的领导人或代表．其间组委会安排这21位领导人或代表合影留念，他们站成两排，前排11人，后排10人，中国领导人站在第一排正中间位置，美俄两国领导人站在与中国领导人相邻的两侧，如果对其他领导人或代表所站的位置不做要求，那么不同的排法共有

(A)
种

(B)
种

(C)
种

(D)
种



7．如图，网格纸的各小格都是正方形，粗线画出的是一个三棱锥的侧视图和俯视图，则该三棱锥的正视图可能是

(A)



(B)





(C)



(D)



8．在平面直角坐标系xOy中，如果菱形OABC的边长为2，点B在y轴上，则菱形内（不含边界）的整点（横纵坐标都是整数的点）个数的取值集合是

(A) {1，3}

(B) {0，1，3}

(C) {0，1，3，4}

(D) {0，1，2，3，4}





第二部分 （非选择题 共110分）

一、填空题共6小题，每小题5分，共30分．

9．在复平面内，复数
，
对应的点分别是A，B（如图所示），则复数
的值是 ．

10．等差数列{an}的前n项和为Sn，如果a1=2，a3+a5=22，那么S3等于 ．

11．执行如图所示的程序框图，则输出的结果是___．



12．若变量x，y满足条件
且
的最大值是10，则k的值是 ．

13．过点
作圆O：
的切线，切点为
，如果
，那么切线的斜率是 ；如果
，那么
的取值范围是 ．

14．设函数
的定义域为
，如果存在非零常数
，对于任意
，都有
，则称函数
是“似周期函数”，非零常数
为函数
的“似周期”．现有下面四个关于“似周期函数”的命题：

①如果“似周期函数”
的“似周期”为-1，那么它是周期为2的周期函数；

②函数
是“似周期函数”；

③函数
是“似周期函数”；

④如果函数
是“似周期函数”，那么“
”．

其中是真命题的序号是 ．（写出所有满足条件的命题序号）

二、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．

15.（本小题共13分）

已知函数
，
．

（Ⅰ）求函数
的最小正周期；

（Ⅱ）求函数
在区间
上的最大值和最小值及相应的x的值．

16. （本小题共13分）

某市为了了解本市高中学生的汉字书写水平，在全市范围内随机抽取了近千名学生参加汉字听写考试，将所得数据整理后，绘制出频率分布直方图如图所示，其中样本数据分组区间为
，
，
，
，
．

（Ⅰ）试估计全市学生参加汉字听写考试的平均成绩；

（Ⅱ）如果从参加本次考试的同学中随机选取1名同学，求这名同学考试成绩在80分以上（含80分）的概率；

（Ⅲ）如果从参加本次考试的同学中随机选取3名同学，这3名同学中考试成绩在80分以上（含80分）的人数记为
，求
的分布列及数学期望．

（注：频率可以视为相应的概率）

17. （本小题共14分）

如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，PA⊥底面ABCD，M是棱PD的中点，且PA=AB=AC=2，
．

（Ⅰ）求证：CD⊥平面PAC；

（Ⅱ）求二面角M-AB-C的大小；

（Ⅲ）如果N是棱AB上一点，且直线CN与平面MAB所成角的正弦值为
，求
的值．

18.（本小题共13分）

已知函数
．

（Ⅰ）求函数
的极小值；

（Ⅱ）如果直线
与函数
的图象无交点，求
的取值范围．

19.（本小题共14分）

已知椭圆
：
的右焦点
，点
在椭圆
上．

（Ⅰ）求椭圆
的标准方程；

（Ⅱ）直线
过点
，且与椭圆
交于
，
两点，过原点
作直线
的垂线，垂足为
，如果△
的面积为
（
为实数），求
的值．

20.（本小题共13分）

已知数列
满足
，
，
，
且
．

（Ⅰ）求证：当
时，数列
为等比数列；

（Ⅱ）如果
，求数列
的前
项和
；

（Ⅲ）如果
表示不超过
的最大整数，当
时，求数列
的通项公式．

（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）

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高三数学（理科）答案及评分参考

一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．

题号

1

2

3

4

5

6

7

8



答案

D

A

D

C

B

B

A

D





二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．

9．
10．15 11．20

12．5 13．
；
14． ①③④

注：第13题第一个空2分；第二个空3分。

三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．

15. 解：（Ⅰ）

． …………………7 分

（Ⅱ）因为
，

所以
．

所以 当
，即
时，
；

当
，即
时，
． …………………13分

所以当
时，函数有最大值是
；当
时，函数有最小值是
．

16. 解：（Ⅰ）估计全市学生参加汉字听写考试的平均成绩为：

． ………………2分

（Ⅱ）设被抽到的这名同学考试成绩在80分以上为事件A．

答：被抽到的这名同学考试成绩在80分以上的概率为0.4． ……………6分

（Ⅲ）由（Ⅱ）知，从参加考试的同学中随机抽取1名同学的成绩在80分以上的概率为
，

X可能的取值是0，1，2，3．

；

；

；

．

的分布列为：

0

1

2

3















 ……………12分

所以
． ……………13分

（或
，所以
．）

17. 证明：（Ⅰ）连结AC．

因为在△ABC中，

AB= AC=2，
，

所以
，

所以
．

因为
∥
，

所以
．

又因为
底面
，

所以
．

因为
，

所以 CD⊥平面PAC． ………………4分

（Ⅱ）如图建立空间直角坐标系，

则
，
，
，
，
．

因为 M是棱PD的中点，

所以
．

所以
，
．

设
为平面MAB的法向量，

所以
，

即
，

令
，则
，

所以平面MAB的法向量
．

因为 PA⊥平面ABCD，

所以
是平面ABC的一个法向量．

所以
．

因为二面角M-AB-C 为锐二面角，

所以二面角M-AB-C的大小为
． ………………10分

（Ⅲ）因为N是在棱AB上一点，所以设
，
．

设直线CN与平面MAB所成角为
，

因为平面MAB的法向量
，

所以

．

解得
，即
，
，所以
． ………………14分

18. 解：（Ⅰ）函数的定义域为R． 因为
，

所以
．

令
，则
．



0







-

0

+





↘

极小值

↗



所以 当
时函数有极小值
． ………………6分

（Ⅱ）函数
．

当
时
，
，

所以要使
与
无交点，等价于
恒成立．

令
，即
，

所以
．

①当
时，
，满足
与
无交点；

②当
时，
，

而
，
，

所以
，此时不满足
与
无交点．

③当
时，令
， 则
，

当
时，
，
在
上单调递减；

当
时，
，
在
上单调递增；

当
时，
．

由