本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时长120分钟.

第Ⅰ卷

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）

1．设集合
，则
= ( )

（A）
（B）
（C）
（D）

2．若已知复数
是虚数单位，则复数的虚部是 （ ）

（A）
（B）
（C）
（D）

3．函数
是 （ ）

（A）最小正周期为的奇函数 （B） 最小正周期为
的奇函数

（C）最小正周期为的偶函数 （D）最小正周期为
的偶函数

4．若向量
，则
等于（　　）

（Ａ）
（Ｂ）
（Ｃ）
（Ｄ）

5．抛物线
的准线方程是
，则实数的值为 （ ）

（A）-4 （B）4 （C）
（D）

6. 下列大小关系正确的是

（A）
（B）

（C）
（D）

7．等差数列
的公差
，且
成等比数列，则
（ ）

（A） （B）
（C）
（D）

8．函数
的图象是 ( )

9．甲、乙两位同学在高二的5次月考中数学成绩统计如茎叶图所示，若甲乙两人的平均成绩分别是
，则下列正确的是 ( )

（A）
；甲比乙成绩稳定

（B）
；乙比甲成绩稳定

（C）
；甲比乙成绩稳定

（D）
；乙比甲成绩稳定

10. 函数
存在与直线
平行的切线，则实数的取值范围是 （ ）

（A）
（B）
（C）
（D）

11. 若定义在R上的偶函数
满足
且
时,
则方程
的零点个数是 （ ）

（A） 2个 （B） 3个 （C） 4个 （D） 6个

12. 在
中，
，已知是
边上一点，
平分
，
则 （ ）

(A)
(B)
(C)
(D)

宁城县高三年级第2次统一考试（2014.12）

数学试题（文科）

第Ⅱ卷（非选择题共90分）

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置．

13．双曲线

=1的焦点到渐近线的距离为_______________;

14．执行右边的程序框图，如果输入
，那么输出的n的值为

是_____________;

15．已知实数
的最小值为 ．

16．设
是空间两条直线，,
是空间两个平面，有下列四个命题:

①当
时，“
”是“
”的必要不充分条件

②当
时，“
”是“
”的充分不必要条件

③当
时， “
”是“∥
”成立的充要条件

④当
时，“
”是“
”的充分不必要条件

以上四个命题正确的是___________________________.

三、解答题（共6小题，70分，须写出必要的解答过程）

17．（本小题满分12分）

△
中，角
所对的边分别为
，已知
，
，
．

（Ⅰ）求
的值；　　　　　（Ⅱ）求
的值．

18．（本小题满分12分）

正方形
与梯形
所在平面互相垂直，
，
，点M是EC中点。

（Ⅰ）求证：BM//平面ADEF；

（Ⅱ）求三棱锥
的体积.

19．（本小题满分12分）

某企业员工500人参加“学雷锋”志愿活动，按年龄分组：第1组[25，30)，第2组[30，35)，第3组[35，40)，第4组[40，45)，第5组[45，50]，得到的频率分布直方图如右图所示．

(Ⅰ)下表是年龄的频率分布表，求正整数
的值；

区间

[25，30)

[30，35)

[35，40)

[40，45)

[45，50]



人数

50

50



150







(Ⅱ)现在要从年龄较小的第1,2,3组中用分层抽样的方法抽取6人，从这6人中随机抽取2人参加社区宣传交流活动，求至少有1人年龄在第3组的概率．

20.（本小题满分12分）

设圆满足条件：

截y轴所得弦长为2; ② 被x轴分成两段圆弧，其弧长的比为3:1.

在满足条件①、②的所有圆中，求圆心到直线
：
的距离最小的圆的方程.

21．（本小题满分12分）

设函数
的图像上在点
处的切线
的斜率为
，

（Ⅰ）求实数的值；

（Ⅱ）求证：对于定义域内的任意一个，都有
．

请考生在第22、23二题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.

22.（本小题满分10分） 选修4—1；几何证明选讲．

如图,已知
切⊙于点E,割线PBA交⊙于

A、B两点,∠APE的平分线和AE、BE分别交于点C、D.

求证:(Ⅰ)
;

(Ⅱ)
.

23．（本小题满分10分）选修4—5；不等式选讲．

已知函数
.

(Ⅰ)当
时,求不等式
的解集;

(Ⅱ)若
对
恒成立,求实数的取值范围.

宁城县高三年级第2次统一考试（2014.12）

数学试题（文科）参考答案

17．解：（Ⅰ）

即
----------------------------------5分

（Ⅱ）因为
，
，所以
-------------------8分

由
-------------------12分

（Ⅱ）因
为EC的中点，所以
，

因为
,且DE与CD相交于D

所以
-----------------------------------------8分

因为
,所以AB//平面CDE

到面
的距离,即为
-----------------10分

--------------------------------12分

19．解：(Ⅰ)由题设可知，
,
……2分

(Ⅱ) 因为第1，2，3组共有50+50+200=300人，

利用分层抽样在300名学生中抽取
名学生，每组抽取的人数分别为：

第1组的人数为
，第2组的人数为
，第3组的人数为
，

所以第1，2，3组分别抽取1人，1人，4人． ………………6分

设第1组的1位同学为，第2组的1位同学为，第3组的4位同学为
，则从六位同学中抽两位同学有：

共
种可能． ………… 10分

其中2人年龄都不在第3组的有：
共1种可能，

所以至少有1人年龄在第3组的概率为
． …………12分

20．解：设圆的圆心为
，半径为，则点P到x轴，y轴距离分别为

由题设知圆P截x轴所得劣弧对的圆心角为900，

知圆P截x轴所得的弦长为
，故
--------------------2分

又圆P截y轴所得的弦长为2，所以有
从而得
------------4分

又点
到直线
的距离为

，得
----------------------------6分

将
代入（1）式，整理得
----------8分

把它看作
的二次方程，由于方程有实根，故判别式非负，即

所以
有最小值1，从而
有最小值
--------------------------------10分

将其中代入（2）式得
解得

将
代入

综上

由
同号.

于是，所求圆的方程是
----------12分

21．解：（Ⅰ）
的定义域为
,
. ………2分

根据题意，
，所以
，

即
，解得
. .………4分

（Ⅱ）
. 设
，

即
.

. ………6分

当变化时，
，
的变化情况如下表：











－

0

＋







极小值






是
在
上的唯一极值点，且是极小值点，从而也是
的最小值点.

可见
， .………10分

所以
，即
，

所以对于定义域内的每一个，都有
. ………12分