北京市东城区普通高中示范校2015届上学期高三年级综合能力测试

数学试卷（理科）

本试卷分第I卷和第II卷两部分，共150分。考试时长120分钟。

第I卷（选择题 共40分）

一、选择题。（本大题共8小题，每小题5分，满分40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）

1. 设U=R，集合
，则下列结论正确的是

A.
B.

C.
D.

2. 双曲线
的焦距为

A. 6 B. 12 C. 36 D.

3. 设二项式
的展开式中常数项为A，则A=

A. -6 B. -4 C. 4 D. 6

4. 如图所示的程序框图表示求算式“
”之值，则判断框内不能填入

A.
？ B.
C.
？ D.
？

5. 已知
有唯一的零点，则实数
的值为

A. 0 B. -1 C. -2 D. -3

6. 设
为非零常数，则“
与
解集相同”是“
”的

A. 既不充分也不必要条件 B. 充分必要条件

C. 必要而不充分条件 D. 充分而不必要条件

7. 设集合
，集合
，若
，则实数
的取值范围是

A.
B.
C.
D.

8. 已知
不等式
在
上恒成立，则实数
的取值范围是

A.
B.
C.
D.

第II卷（非选择题 共110分）

二、填空题。（本大题共6小题，每小题5分，满分30分）

9. 复数
的虚部为__________。

10. 已知某个几何体的三视图如图（主视图中的弧线是半圆），根据图中标出的尺寸（单位：
），可得这个几何体的体积是__________
。

11. 如图，△ABC内接于⊙O，点D在OC的延长线上，AD与⊙O相切，割线DM与⊙O相交于点M，N，若∠B=30°，AC=1，则DM
DN=____________。

12. 某市电信宽带私人用户月收费标准如下表：假定每月初可以和电信部门约定上网方案。

方案

类别

基本费用

超时费用



甲

包月制

70元





乙

有限包月制（限60小时）

50元

0.05元/分钟（无上限）



丙

有限包月制（限30小时）

30元

0.05元/分钟（无上限）



 若某用户每月上网时间为66小时，应选择__________方案最合算。

13. 数列
的前
项和记为
，若
，
，则数列
的通项公式为
_______________。

14. 圆O的半径为1，P为圆周上一点，现将如图装置的边长为1的正方形（实线所示，正方形的顶点A与点P重合）沿圆周顺时针滚动，经过若干次滚动，点A第一次回到点P的位置，则点A走过的路径的长度为____________。

三、解答题。（本大题共6小题，满分80分。解答须写出文字说明，证明过程和演算步骤）

15. （本小题满分13分）

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为
，满足
，

且
。

（I）求C的大小；

（II）求
的最大值，并求取得最大值时角A，B的值。

16. （本小题满分13分）

如图，四棱锥
中，PA⊥平面ABCD，∠ABC=∠BAD=90°，AD=2PA=2AB=2BC=2。

（I）求三棱锥
的外接球的体积；

（II）求二面角
与二面角
的正弦值之比。

17. （本小题满分13分）

设集合
，从S的所有非空子集中，等可能地取出一个。

（I）设
，若
，则
，就称子集A满足性质
，求所取出的非空子集满足性质
的概率；

（II）所取出的非空子集的最大元素为
，求
的分布列和数学期望
。

18. （本小题满分14分）

如图，已知椭圆
的左焦点为F（
，0），过点M（-3，0）作一条斜率大于0的直线
与椭圆W交于不同的两点A、B，延长BF交椭圆W于点C。

（I）求椭圆W的离心率；

（II）若∠MAC=60°，求直线
的斜率。

19. （本小题满分13分）

已知定义在
上的函数
，
。

（I）求证：
存在唯一的零点，且零点属于（3，4）；

（II）若
且
对任意的
恒成立，求
的最大值。

20. （本小题满分14分）

给定正奇数
，数列
：
是1，2，…，
的一个排列，定义E（
，…，
）
为数列
：
，
，…，
的位差和。

（I）当
时，求数列
：1，3，4，2，5的位差和；

（II）若位差和E（
，
，…，
）=4，求满足条件的数列
：
，
，…，
的个数；

（III）若位差和
，求满足条件的数列
：
的个数。

参考答案：

一、选择题。（共8小题，每小题5分，共40分）

1. A 2. B 3. B 4. D 5. B 6. A 7. C 8. D

7. 提示：由图可知，不等式组所表示的区域非空当且仅当点（
）位于直线
的下方，即
，由此解得
。

原题等价于函数
的最大值小于2，
即
。

8. 提示：
为R上的减函数，故
，从而
，所以
，得
。

二、填空题。（共6小题，每小题5分，共30分）

9. -1 10.
11. 3 12. 乙

13.

14.
提示：A走过的路径由9段圆心角均为
的劣弧组成，其中6个劣弧所在圆的半径为1，3个劣弧所在圆的半径为
，所以点A走过的路径的长度为

。

三、解答题。（共6小题，共80分）

15. （本小题满分13分）

解：（I）由
，

可得
，

即
，又
，所以
，

由正弦定理得
，（4分）

因为
，所以
0，从而
，即
。（6分）

（II）由余弦定理
，得
，

又
，所以
，于是
，（11分）

当
时，
取到最大值
。（13分）

16. （本小题满分13分）

解：（I）连接AC，则AC⊥CD，

又PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CD，

∴CD⊥平面PAC，

又PC
平面PAC，

∴∠PCD=90°，（2分）

而∠PAD=90°，

从而三棱锥P-ACD外接球的球心为PD中点E。（4分）

直径
，

所以三棱锥P-ACD外接球的体积

。（6分）

（II）建立坐标系，以点A为坐标原点，

分别为
轴正方向，

则B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，2，0），P（0，0，1）

。

设平面PBC的法向量
，则
即

∴
=（1，0，1）

由（I）知CD⊥平面PAC，故平面PAC的一个法向量为
=（-1，1，0），（8分）

所以

。

二面角B-PC-A的大小为
，其正弦值为
，（10分）

由CD⊥平面PAC，得平面PCD⊥平面PAC，二面角A-PC-D为直二面角，其正弦值为1，（12分）

综上，二面角B—PC—A与二面角A—PC—D的正弦值之比为
。（13分）

17. （本小题满分13分）

解：可列举出集合S的非空子集的个数为：
个。（2分）

（I）满足性质
的非空子集为：
，
，
，
，
，
，
共7个，所以所取出的非空子集满足性质
的概率为：

。（6分）

（II）
的可能值为1，2，3，4，5。

1

2

3

4

5



P













（11分）

。（13分）

18. （本小题满分14分）

解：（I）由题设
，

解得
，（3分）

所以椭圆W：
，

离心率
。（5分）

（II）设直线
的方程为
。

联立

得
，

由直线
与椭圆W交于A、B两点，可知

△
，解得
，

设点A，B的坐标分别为
，

则
，
，（8分）

因为F（-2，0），设点A关于
轴的对称点为C′，则C′（
），

所以
，

又因为

，

所以B，F，C′共线，从而C与C′重合，

连接MC，则
，（12分）

则△MAC为等边三角形，所以直线
的斜率
，符合
，

综上，直线
的斜率为
。（14分）

19. （本小题满分13分）

解：（I）
，
，则
，

故
在
上单调递增，（3分）

而
，

所以
存在唯一的零点
。（6分）

（II）由（I）
存在唯一的零点
显然满足：
，

且当
时，
；当
时，
，

当
时，
等价于
，

设
。

则
，故
与
同号，因此当
时，
；

当
时，
，所以
在
上单调递减，在
上单调递增，（10分）

故
，

由题意有
，又
，而
，故
的最大值是3。（13分）

20. （本小题满分14分）

解：（I）E（1，3，4，2，5）=|1-1|+|3-2|+|4-3|+|2-4|+|5-5|=4；（3分）

（II）若数列
：
，
，…，
的位差和E（
，
，…，
）=4，有如下两种情况：

情况一：当
，
，
，
，且
，其他项
（其中
）时，有
种可能；（5分）

情况二：当
分别等于
，
，
或
，
，
或
，
，其他项
（其中
）时，有
种可能；（7分）

综上，满足条件的数列
：
的个数为

。（8分）

例如：
时，

情况一：形如2，1，4，3，5，共有2+1=3种：2，1，4，3，5；2，1，3，5，4；1，3，2，5，4；

情况二：形如3，2，1，4，5，共有5-2=3种：3，2，1，4，5；1，4，3，2，5；1，2，5，4，3；

形如2，3，1，4，5，共有5-2=3种：2，3，1，4，5；1，3，4，2，5；1，2，4，5，3；

形如3，1，2，4，5，共有5-2=3种：3，1，2，4，5；1，4，2，3，5；1，2，5，3，4。

（III）将
去绝对值符号后，所得结果为

1
1
2
2
3
3
…

的形式，其中恰好有
个数前面为减号，这表明

，（10分）

此不等式成立是因为前面为减号的
个数最小为：2个1，2个2，…，2个
和1个
。（11分）