北京市东城区普通高中示范校2015届上学期高三年级综合能力测试

数学试卷（文科）

本试卷分第I卷和第II卷两部分，共150分。考试时长120分钟。

第I卷（选择题 共40分）

一、选择题。（本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）

1. 已知集合
，
，则
（ ）

A.
B.
C.
D.

2. 已知复数
，
，若
是纯虚数，则实数
的值为（ ）

A.
B. 1 C. 2 D. 4

3. “
”是“
”成立的（ ）

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

4. 下图是一算法的程序框图，若此程序运行结果为
，则在判断框中应填入关于
的判断条件是（ ）

A.
B.
C.
D.

5. 已知一个棱锥的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：cm），可得这个棱锥的侧面积是（ ）

A.
B.
C.
D.

6. 已知
有唯一的零点，则实数
的值为（ ）

A. -3 B. -2 C. -1 D. 0

7. 如图，直线
与圆
及抛物线
依次交于A、B、C、D四点，则
（ ）

A. 13 B. 14 C. 15 D. 16

8. 已知
不等式
在
上恒成立，则实数
的取值范围是（ ）

A.
B.
C.
D.

第II卷（非选择题 共110分）

二、填空题。（本大题共6小题，每小题5分，共30分）

9. 不等式组
表示的平面区域的面积为__________。

10. 设平面向量
，
，若
，则
=__________。

11. 在等差数列
中，
，则
__________。

12. 直线
被圆
截得的弦长为__________。

13. 已知
，且
，则
的值为__________。

14. 已知数集
具有性质P：对任意
，其中
，均有
属于A，若
，则
__________。

三、解答题。（本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）

15. （本小题共13分）

设数列
的前
项和为
，且
。

（I）求数列
的通项公式；

（II）若数列
满足
，求数列
的通项公式。

16. （本小题共13分）

在△ABC中，
分别是角
的对边，满足
，且
。

（I）求C的大小；

（II）求
的最大值，并求取得最大值时角A，B的值。

17. （本小题共14分）

如图，将矩形ABCD沿对角线BD把△ABD折起，使A点移到
点，且
在平面BCD上的射影O恰好在CD上。

（I）求证：BC⊥
；

（II）求证：平面
⊥平面
；

（III）若AB=10，BC=6，求三棱锥
的体积。

18. （本小题共13分）

设
，已知函数
。

（I）当
时，求函数
的单调区间；

（II）若对任意的
，有
恒成立，求实数
的取值范围。

19. （本小题共13分）

已知椭圆
的左焦点为
，过点M（-3，0）作一条斜率大于0的直线
与W交于不同的两点A、B，延长BF交W于点C。

（I）求椭圆W的离心率；

（II）求证：点A与点C关于
轴对称。

20. （本小题共14分）

已知定义在
上的函数

（I）求证：
存在唯一的零点，且零点属于（3，4）；

（II）若
，且
对任意的
1恒成立，求
的最大值。

参考答案：

一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）

1. A 2. D 3. A 4. B 5. D 6. C 7. B 8. A

二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）

9. 1 10. 5 11.
12.
13.
14. 30

三、解答题（本大题共6小题，共80分）

15. （共13分）

解：（I）因为
，

则
，

所以当
时，
，

整理得
，

由
，令
，得
，解得
。

所以
是首项为1，公比为2的等比数列，可得
（6分）

（II）因为
，

由
，得
，

由累加得

，

当
时也满足，所以
。（13分）

16. （共13分）

解：（I）由
，得

，

又
，所以

由正弦定理得
。

因为
，所以
，从而
，即
。（6分）

（II）由余弦定理
，得
，

又
，所以
，于是
。

当
时，
取得最大值
（13分）

17. （共14分）

解：（I）因为
在平面
上的射影O在CD上，

所以
⊥平面BCD。

又BC
平面BCD，

所以BC⊥
。

又BC⊥CO，CO
，

平面
，

平面
，

所以BC⊥平面
。

又

平面
，

所以
。（5分）

（II）因为矩形ABCD，

所以
⊥
。

由（I）知BC⊥
。

又
平面
，

所以
。

又
，

所以平面
。（10分）

（III）因为
，

所以
。

因为CD=10，
，所以
。

所以
。（14分）

18. （共13分）

解：（I）当
时，
，

则
，

由
，得
，或
，

由
，得
，

所以
的单调递增区间为
，单调递减区间为（0，2）。（6分）

（II）依题意，对
，
，

这等价于，不等式
对
恒成立。

令
，

则
，

所以
在区间
上是减函数，

所以
的最小值为
。

所以
，即实数
的取值范围为
。（13分）

19. （共13分）

解：（I）由题意
，

解得
。

所以椭圆
。

离心率
。（5分）

（II）设直线
的方程为
。

联立

得
。

由直线
与椭圆W交于A、B两点，可知

△
，解得
。

设点A，B的坐标分别为（
），
，

则
，
，

。

因为F（-2，0），设点A关于
轴的对称点为C′，则C′（
），

所以
，
。

又因为

，

所以B，F，C′共线，从而C与C′重合，故点A与点C关于
轴对称。（13分）

20. （共14分）

解：（I）由
，可得
，

故
在
上单调递增，

而
，
，

所以
存在唯一的零点
。（7分）

（II）由（I）
存在唯一的零点
显然满足：
，且当
时，

；当
时，
。

当
时，
等价于
。

设
，

则
，故
与
同号，

因此当
时，
；当
时，
。

所以
在
上单调递减，在
上单调递增，

故
。

由题意有
，又
，而
，故
的最大值是3。（14分）

欢迎访问“高中试卷网”——http://sj.fjjy.org