昌平区2014－2015学年第一学期高三年级期末质量抽测

数学试卷(理科) 2015.1

考生注意事项：

1.本试卷共6页，分第Ⅰ卷选择题和第Ⅱ卷非选择题两部分，满分150分，考试时间 120分钟．

2．答题前，考生务必将学校、班级、姓名、考试编号填写清楚．答题卡上第一部分(选择题)必须用2B铅笔作答，第二部分(非选择题)必须用黑色字迹的签字笔作答，作图时必须使用2B铅笔．

3．修改时，选择题用塑料橡皮擦干净，不得使用涂改液．请保持卡面整洁，不要折叠、折皱、破损．不得在答题卡上作任何标记．

4．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，未在对应的答题区域作答或超出答题区域的作答均不得分．

第Ⅰ卷（选择题 共40分）

一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．)

1. 已知集合
，
，则
等于

A.
B.
C.
D.

2．已知
，则下列不等式成立的是

A.
B.
C.
D.

3. 执行如图所示的程序框图，输出
的值是

A．4

B．8



C．16

D．32





4.某四棱锥的三视图如图所示，其中正(主)视图是等腰直角三角形,侧(左)视图是等腰三角形,俯视图是正方形,则该四棱锥的体积是

A．

B．

C．

D．

5. 已知直线m和平面α，β，则下列四个命题中正确的是

A. 若
，
，则
B. 若

，
，则

C. 若
，
，则
D. 若
，
，则

6. 在2014年APEC会议期间，北京某旅行社为某旅行团包机去旅游，其中旅行社的包机费为12000元，旅行团中每人的飞机票按以下方式与旅行社结算：若旅行团的人数在30人或30人以下，每张机票收费800元；若旅行团的人数多于30人，则给予优惠，每多1人，旅行团每张机票减少20元，但旅行团的人数最多不超过45人，当旅行社获得的机票利润最大时，旅行团的人数是

A. 32人 B. 35人 C. 40人 D. 45 人

7. 在
中，角
对应的边分别为
. 若
则“
”是“
”的

A．充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C．充要条件 D.既不充分也不必要条件

8. 某珠宝店丢了一件珍贵珠宝，以下四人中只有一人说真话，只有一人偷了珠宝. 甲：我没有偷；乙：丙是小偷；丙：丁是小偷；丁：我没有偷. 根据以上条件，可以判断偷珠宝的人是

A．甲 B. 乙 C．丙 D.丁

第Ⅱ卷（非选择题 共110分）

填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．）

9. 设复数
，则

.

10.
的展开式中，
的系数是 .(用数字作答)

11. 若
，
满足约束条件
则
的最大值是 .

12. 平面向量
与
的夹角为
，
，
，则
= .

13. 已知双曲线
的离心率是2，则
以该双曲线的右焦点为圆心且与其渐近线相切的圆的方程是 .

14. 已知函数
，有如下结论：

①
，有
；②
，有
；

③
，有
；

④
，有
.

其中正确结论的序号是 .（写出所有正确结论的序号）

三、解答题(本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)

15.（本小题满分13分）

已知函数
．

( I ) 求函数
的最小正周期；

(Ⅱ) 当
时，求函数
的最大值及取得最大值时的
值．

16.（本小题满分13分）

从甲、乙两班某项测试成绩中各随机抽取5名同学的成绩，得到如下茎叶图. 已知甲班样本成绩的中位数为13, 乙班样本成绩的平均数为16.

(I) 求
的值；

(II) 试估计甲、乙两班在该项测试中整体水平的高低(只需写出结论)；

(III) 从两组样本成绩中分别去掉一个最低分和一个最高分，再从两组

剩余成绩中分别随机选取一个成绩，求这两个成绩的和
的分布列及数学期望.

（注：方差
，其中
为
，
，… ,
的平均数.）

17. （本小题满分14分）

如图，
垂直于梯形
所在的平面，
.
为
中点，
，
四边形
为矩形，线段
交
于点N .

(I) 求证：
// 平面
；

(II) 求二面角
的大小；

(III)在线段
上是否存在一点
，使得
与

平面
所成角的大小为
？ 若存在，请求出
的长;

若不存在，请说明理由.

18. (本小题满分13分）

已知函数f (x) ＝ln x－a2x2＋ax (a∈
)．

( I ) 当a＝1时，求函数f (x)的单调区间；

( II ) 若函数f (x)在区间 (1，＋∞)上是减函数，求实数a的取值范围．

19.（本小题满分14分）

已知椭圆C :
, 经过点P
，离心率是
.

(I) 求椭圆C的方程；

(II) 设直线
与椭圆
交于
两点，且以
为直径的圆过椭圆右顶点
，求证：直线l恒过定点．

20. （本小题满分13分）

已知数列
满足
，
，数列
的前n项和为
,

，其中
.

(I) 求
的值；

(II) 证明：数列
为等比数列；

(III) 是否存在
，使得
若存在，求出所有的n的值；若不存在，请说明理由．

昌平区2014－2015学年第一学期高三年级期末质量抽测

数学试卷(理科)参考答案

一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．)

题号

1

2

3

4

5

6

7

8



答案

C

D

B

 D

C

B

A

A





二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）．

9.
10. 40 11. 2

12. 2 13.
；
14.② ③ ④

三、解答题(本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)

15.（本小题满分13分）

解：（Ⅰ）因为

………… 5分

所以
，故
的最小正周期为
. 　　 ………… 7分

（Ⅱ）因为
， 所以
． …………9分

当
时，即
时， …………11分

所以
有最大值
. …………13分

16.（本小题满分13分）

解：（I）经计算得：甲班数据依次为
，所以中位数为
，得
；
，得
．……………4分

（II）乙班整体水平高.

或解：
，

，

，

.

因为
，所以乙班的水平高. ……………7分

(III) 从甲、乙两班测试中分别去掉一个最低分和最高分，则甲班：12，13，20，

乙班：15，18，18.

这两班测试成绩的和为
，则
，

所以
，
，
，
，
，
.

所以
的分布列为

27

28

30

31

35

38



















所以
的期望为

. .……………13分

17. （本小题满分14分）

解：(Ⅰ)连接
在
中，
分别为
中点，所以

因为

所以
…………………4分

(Ⅱ)如图以
为原点，分别以
所在直线为x,y,z轴，建立空间直角坐标系
…………………5分

则

设平面
的法向量为
则

即
解得

令
，得
所以
…………………7分

因为平

所以
，

由图可知二面角
为锐二面角，

所以二面角
的大小为
…………………9分

(Ⅲ) 设存在点Q满足条件.

由
设
，

整理得
，
…………………11分

因为直线
与平面
所成角的大小为
，

所以
， …………………13分

则
知
，即
点与E点重合.

故在线段
上存在一点
，且
…………………14分

18. (本小题满分13分）

解：（Ⅰ）当
时，
，定义域是
.

，

由
，解得
；由
，解得
；

所以函数
的单调递增区间是
，单调递减区间是
. …………………5分

（Ⅱ）（法一）

因为函数
在区间
上是减函数，所以
在
上恒成立，

则
，即
在
上恒成立. …………………7分

当
时，
，所以
不成立. …………………9分

当
时，
，
，对称轴
.

，即
，解得

所以实数a的取值范围是
. …………………13分

（法二）

，定义域是
.

①当
时，
在区间
上是增函数，所以
不成立. …………………8分

②
时，

令
，即
，则
， …………………9分

（i）当
时，由
，解得
，

所以函数
的单调递减区间是
.

因为函数
在区间
上是减函数，+所以